Question

Mostre que
$\frac{a + b}{2} \geqslant \sqrt{ab}$
para a e b reais positivos.​

Answer 1

Boa noite.

Bom, podemos demonstrar a veracidade disso dessa forma:

(√a - √b)² ≥ 0

Como a e b são valores reais e positivos, logo, independente do b ser maior que o a, quando elevado ao quadrado isso vai ser positivo, e também, o sinal de ≥ significa que pode ser maior ou igual a 0 quando a e b são iguais.

Agora vamos desenvolver o produto notável.

(√a)² - 2√a . √b + (√b)² ≥ 0

a - 2√ab + b ≥ 0

a + b ≥ 0 + 2√ab

a + b ≥  2√ab

(a + b) / 2  ≥ √ab

Essa é a nossa prova!

Answer 2

Resposta:

Pode ser demonstrado por um triângulo retângulo