Question

Mostre que sen²(x) + cos²(x) = 1.

Sugestão: Mostre que d/dx[sen²(x)]=-d/dx[ cos²(x)] , de modo que pelo teorema do valor médio sen²(x) + cos²(x) = k, para algum k pertencente a R. Utilize x = 0 para encontrar o valor de k.

Answer 1

$f(x)=\sin^2x+\cos^2x\\ \\ f'(x)=(\sin^2x)'+(\cos^2x)'\\ \\ f'(x)=2\sin x\cos x -2\sin x \cos x\\ \\ f'(x)=0$

sea $x\in \mathbb R\iff x\in (-\infty,0)\cup [0,+\infty)$

Luego pongamos que $\xi \in \mathbb R$, en particular $\xi\in [0,x]$ donde $x\in (0,+\infty)$, por el teorema del valor medio se tiene

$f'(\xi)=\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}\\ \\ 0=\dfrac{f(x)-1}{x}\\ \\ f(x)=1\;,\; \forall x\in (0,+\infty)$

Por otra parte, si $\xi \in [x,0]$ donde $x\in(-\infty, 0)$ entonces

$f'(\xi)=\dfrac{f(0)-f(x)}{0-x}\\ \\ 0=\dfrac{1-f(x)}{-x}\\ \\ f(x)=1\;,\; \forall x\in (-\infty,0)$

Por lo tanto queda demostrado.