Question

Mostre que segmento que une os pontos medios de dois lados de um triangulo a) é paralelo ao terceiro lado. B) tem comprimento igual a metade do comprimento do terceiro lado

Answer 1

$\ Seja \ \Delta ABC \ um \ tri\hat{a}ngulo \ qualquer \ ; \ M \ e \ N \ os \ pontos \ m\acute{e}dios \\ de \ \overline{AB} \ e \ \overline{AC} \ , \ respectivamente \ ; \ olhar \ anexo \ ( 1 ).$

$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Hip\acute{o}tese \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Tese \\ \\ \left\{\begin{matrix} \overline{AM} \ = \ \overline{MB} & e & \overline{AN} \ = \ \overline{NC} \end{matrix}\right. \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ \left\{\begin{matrix} \overline{MN} & // & \overline{BC} \\ \\ \overline{MN} & = & \frac{\overline{BC}}{2} \end{matrix}\right.$

$Agora \ conduzindo \ uma \ reta \ em \ C \ que \ seja \ paralela \ a \ \overline{AB} \ e \ seja \\ P \ o \ ponto \ de \ intersecc\tilde{a}o de \ \overline{MN} \ com \ \overline{CP} \ ; \ Olhar \ anexo \ ( 2 ) .$

$Analisando \ os \ \Delta ANM \ e \ \Delta PNC \ , \\ \\ \left\{\begin{matrix} M\hat{A}N \ e \ P\hat{C}N & s\tilde{a}o \ \hat{a}ngulos \ alternos \\ P\hat{N}C \ e \ A\hat{N}M & s\tilde{a}o \ \hat{a}ngulos \ O.P.V \\ \overline{AN} \ = \ \overline{NC} \end{matrix}\right. \ \ \overset{ALA}{\Rightarrow} \ \ \left\{\begin{matrix} \Delta ANM \ \equiv \ \Delta PNC \end{matrix}\right.$

∴ $Onde \ O.P.V \ significa \ \hat{a}ngulos \ opostos \ pelo \ v\acute{e}rtice ; \ e \ ALA \\ refere-se \ ao \ caso \ de \ congru\hat{e}ncia \ de \ tri\hat{a}ngulos : \\ \hat{a}ngulo-lado-\hat{a}ngulo \ .$

$Se \ \overline{CP} \ = \ \overline{AM} \ \Rightarrow \ \overline{CP} \ = \ \overline{MB}$

$Agora \ para \ facilitar \ chamarei \ os \ \hat{a}ngulos \ A \ e \ N \ por \ \alpha \ e \ \beta \ , \\ respectivamente . \\ \\ Utilizando \ as \ propriedades \ do \ paralelismo \ de \ retas \ vou \\ de finir \ outros \ \hat{a}ngulos \ sejam \ iguais \ atrav\acute{e}s \ de \ marca\c{c}\tilde{o}es \\ iguais \ . \ Olhar \ anexo \ (3) \ . \\ \\ Na \ geometria \ plana \ , \ temos \ que \ :$

$\boxed{Todo \ quadril\acute{a}tero \ de \ \hat{a}ngulos \ opostos \ congruentes \ \acute{e} \ paralelogramo} \\ \\ Pelo \ fato \ do \ quadrilat\acute{e}ro \ BMPC \ ser \ um \ paralelogramo \ , \ ent\tilde{a}o \\ utilizemos \ a \ seguinte \ propriedade : \\ \\ }$

$\boxed{Em \ todo \ paralelogramo \ , \ dois \ lados \ opostos \ s\tilde{a}o \ congruentes}$

$Como \ temos \ que \ \overline{BM} \ = \ \overline{CP} \ , \ ent\tilde{a}o \ podemos \ afirmar \ que \\ \overline{MP} \ = \ \overline{BC} \ . \ Al\acute{e}m \ disso \ por \ se \ tratar \ de \ um \ paralelogramo \\ temos \ que \ lados \ opostos \ s\tilde{a}o \ paralelos \ . \ Logo \ \overline{BC} \ // \ \overline{MN}.$

$Utilizando \ semelhan\c{c}a \ de \ tri\hat{a}ngulos \ nos \ \Delta MAN \ e \ \Delta BAC \ ,$

${ \Large \frac{\overline{MN}}{\overline{AM}} \ = \ \frac{\overline{BC}}{\overline{AB}}}$

$\overline{MN} . \ \overline{AB} \ = \ \overline{BC} . \ \overline{AM} \\ \\ Como \ \overline{AM} \ = \ \frac{\overline{AB}}{2} \ , \ ent\tilde{a}o \ :$

$\overline{MN} \ . \ \overline{AB} \ = \ \overline{BC} \ . \ \frac{\overline{AB}}{2} \\ \\ \overline{MN} \ = \ \frac{1}{2}.\overline{BC}$