Question

Mostre que se uma matriz quadrada A, de ordem maior ou igual do que 1, for inversível, então o valor do determinante de uma será o inverso do valor da outra.

Answer 1

Queremos demonstrar que, dada uma matriz quadrada A de ordem não nula, $det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)}$

Se $A^{-1}$ é inversa de $A$, segue que

$AA^{-1}=I$

Onde $I$ é a matriz identidade de ordem N igual à ordem de A. Tomando o determinante em ambos os lados, temos:

$det(AA^{-1})=det(I)$

Como $det(I)= 1$ temos

$det(AA^{-1})=1$

Pela linearidade do determinante, ou seja, sabendo que $det(AB)=det(A)det(B)$

Temos que

$det(A)det(A^{-1})=1$

Portanto

$\boxed{det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)} }$