Question

Mostre que, se r1 e r2 são racionais e r1 < r2 então existe um r tal que r1 < r < r2

Answer 1

Beleza. Então ele quer que a gente demonstre que existe um r entre r1 e r2 sendo que este r precisa ser maior que r1 e menor que r2, perfeito então. Oq ele nos dar? ele diz que r1 e r2 são racionais e que r1 é menor que r2. Ok, tudo bem.

 

Percebe que a demonstração ela meche com a nossa criatividade sendo que não temos muito o que escolher só nos é dado alguns dados para que formamos nossa hipótese e também alguns dados que forma a nossa tese que é aonde queremos chegar. Ok.

 

 

Bom vamos lá, vamos chamar r1 de a/b, logo r1= a/b e r2 chamaremos de c/d, logo r2 = c/d Como r1 < r2, então a/b < c/d   => ad < bc. Até aí tudo bem né? Então ok.

 

Seja r a méda artimetica entre r1 e r2: r = (ad + bc)/2bd   percebe que eu fui direto, fiz o mmc e tudo já aí nessa parte, ok vamos continuar.

 

Comparemos r1 e r2:

 

r1 - r = a/b - (ad + bc)/2bd = (ad - bc)/2bd   =>    r1 - r  <  0  = > r1 < r

 

Perfeito a matemática né? Vamos continuar agora comparando  r e r2:

 

r - r2 = (ad + bc)/2bd   - c/d =  (ad - bc)/2bd   => r - r2 < 0   =>  r < r2

 

 

Portando existe r, tal que r1  < r < r2.

 

 

 

Comentário: Realmente foi uma questão interesante o meu raciocinio foi mostrar que r1 era menor que r e logo em seguida mostrar que r era menor que r2, para a gente chegar na nossa tese. Lembre-se numa demonstração temos que pegar o que a gente tem que são as hipóteses e através dela chegar na tese que é o que queremos demonstrar. Muito obrigado por acreditar em mim, adorei resolver essa questão, fica bem.

Answer 2

Hipótese: $r_1$ e $r_2$ são racionais e $r_1<r_2$.

Tese: Existe um r tal que $r_1<r<r_2$.

Partimos da hipótese e chegaremos na tese de maneira direta. Somando em ambos os membros $r_1$.

$r_1+r_1<r_2+r_1\\ \\ 2r_1<r_2+r_1\\ \\ r_1<\dfrac{r_2+r_1}{2}$

Agora somando em ambos os membros o $r_2$.

$r_1+r_2<r_2+r_2\\ \\ r_1+r_2<2r_2\\ \\ \dfrac{r_1+r_2}{2} <r_2$

Com isso, podemos concluir que,

$r_1<\dfrac{r_2+r_1}{2}<r_2$

Logo, o r é a média aritmética de $r_1$ e $r_2$. E sim, existe um número racional r entre $r_1$ e $r_2$.

c.q.d