Question

Mostre que se f(x) é uma função par (impar) então f'(x) é ımpar(par).​

Answer 1

Boa tarde!!

Primeiro caso: Vamos mostrar que se f(x) é par, f'(x) é impar:

Se f(x) é par então segue que f(-x) = f(x). Devemos mostrar que f'(-x) = -f'(x)

Seguindo a definição de derivada temos:

$f'(-x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(-x+h)-f(-x)}{h}\\\\\\f'(-x) =\lim_{h \to 0} \dfrac{f(-(x-h))-f(-x)}{h}$

Utilizando da propriedade de que f(x) é par, temos:

$f'(-x) =\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x-h)-f(x)}{h}~;~\cdot(\frac{-1}{-1})\\\\\\f'(-x) =-\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x-h)-f(x)}{-h}~;~-h = g\\\\\\f'(-x) =-\lim_{g \to 0} \dfrac{f(x+g)-f(x)}{g}\\\\\\f'(-x) = -f'(x)$

Portanto se f(x) é par, f'(x) é ímpar para todo x ∈ D(f').

Segundo caso: Vamos mostrar que se f(x) é ímpar, f'(x) é par:

Se f(x) é ímpar então segue que f(-x) = -f(x). Devemos mostrar que f'(-x) = f'(x)

Seguindo de forma análoga ao primeiro caso, temos:

$f'(-x) =\lim_{h \to 0} \dfrac{f(-x+h)-f(-x)}{h}\\\\\\f'(-x) =\lim_{h \to 0} \dfrac{f(-(x-h))-f(-x)}{h}$

Utilizando a propriedade de que f(x) é ímpar, temos:

$f'(-x)=\lim_{h \to 0} \dfrac{-f(x-h)+f(x)}{h}\\\\\\f'(-x) =-\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x-h)-f(x)}{h}~;~\frac{-1}{-1}\\\\\\f'(-x) =\lim_{h \to 0} \dfrac{f(x-h)-f(x)}{-h}~;~-h=g\\\\\\f'(-x) =\lim_{g \to 0} \dfrac{f(x+g)-f(x)}{g}\\\\\\f'(-x) = f'(x)$

Portanto, se f(x) é ímpar, f'(x) é par para todo x ∈ D(f').

Espero ter ajudado. Bons estudos!