Question

Mostre que se a ∈ Z ent˜ao a elevado a 3
´e cˆongruo a 0, 1 ou 8 m´odulo 9

Answer 1

Sendo a um inteiro qualquer, temos, pelo algoritmo da divisão, que

$a=9q+r,~0\le r\le8$

Então:

$a^{3}=(9q+r)^{3}=(9q)^{3}+3(9q)^{2}r+3(9q)r^{2}+r^{3}\\\\a^{3}=9^{3}q^{3}+9^{2}(3q^{2}r)+9(3qr^{2})+r^{3}\\\\a^{3}=9(9^{2}q^{3}+27q^{2}r+3qr^{2})+r^{3}$

Então, a³ é da forma a³ = 9k + r³, para algum k inteiro

Vamos por partes agora:

r = 0: $a^{3}=9k\equiv0(mod~9)$
r = 1: $a^{3}=9k+1\equiv0+1\equiv1(mod~9)$
r = 2: $a^{3}=9k+8\equiv0+8\equiv8(mod~9)$
r = 3: $a^{3}=9k+27=9(k+3)\equiv0(mod~9)$
r = 4: $a^{3}=9k+64=9k+63+1=9(k+7)+1\equiv0+1\equiv1(mod~9)$
r = 5: $a^{3}=9k+125=9k+117+8=9(k+13)+8\equiv8(mod~9)$
r = 6: $a^{3}=9k+216=9(k+24)0\equiv0(mod~9)$
r = 7: $a^{3}=9k+343=9k+342+1=9(k+38)+1\equiv1(mod~9)$
r = 8: $a^{3}=9k+512=9k+504+8=9(k+56)+8\equiv8(mod~9)$

Logo, qualquer inteiro a³ é congruente a 0, 1 ou 8 (módulo 9)