Question

mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M= [01-10] então AB=BA

Answer 1

Oi!

A e B têm que ser matrizes 2 x 2, sendo  

A =  a11 a12  

     a21 a22  

Podemos dizer que

AM =  -a12 a11  

         -a22 a21  

e que

MA =  a21 a22  

        -a11 -a12  

Então podemos dizer que,  

-a12 = a21  

a11 = a22  

-a22 = -a11  

a21 = -a12  

Como podemos ver, a última e a penúltima equações são equivalentes às duas primeiras, por isso:

a11 = a22 = r  

a12 = s,

a21 = -s

e podemos compreender que A é da forma  

r s  

-s r  

de forma semelhante,

B =  t u  

     -u t  

Isso significa dizer que, na sequência 11, 12, 21, 22  

AB = (rt - su; ru + st; -st - ru; -su + rt) BA = (rt - su; st + ru; -ru - st; -su + rt)  

Podemos concluir, por fim que:

AB = BA e A e B comutam