Mostre que para todo natural n > ou igual a 1, o número n³+ 2n + 3 é um múltiplo de 3.
Soluções para a tarefa
Olá.
Para resolver essa questão, usarei PIF (Princípio de Indução Finita).
Temos a hipótese:
n³ + 2n + 3 ≡ 3
(n ao cubo mais dois n mais três é divisível por 3)
O primeiro passo é testar essa hipóteses nas condições dadas. Sendo o universo composto pelos inteiros maiores que 1, vou testar para 2, 3, 4, 5 e 321. Quando for válido, terá um “ “ no resultado. Vamos aos cálculos.
Para n = 2
(2)³ + 2(2) + 3 ≡ 3
8 + 4 + 3 ≡ 3
15 ≡ 3
Para n = 4
(3)³ + 2(3) + 3 ≡ 3
27 + 6 + 3 ≡ 3
36 ≡ 3
Para n = 4
(4)³ + 2(4) + 3 ≡ 3
64 + 8 + 3 ≡ 3
75 ≡ 3
Para n = 5
(5)³ + 2(5) + 3 ≡ 3
125 + 10 + 3 ≡ 3
138 ≡ 3
Para n = 321
(321)³ + 2(321) + 3 ≡ 3
3.3076.161 + 642 + 3 ≡ 3
33.076.806 ≡ 3
33.076.806 / 3 = 11.025.602
Agora, podemos testar se realmente todos são múltiplos de 3 com o PIF.
A nossa hipótese será:
“Para todo n aplicado na fórmula, o resultado sempre vai ser um produto de 3 com outro número m”.
Assumindo como verdade, temos n = k.
Para saber se é valido para todo k, vamos testar com k + 1.
Aplicaremos uma propriedade de produtos notáveis em (k + 1)³: cubo da soma de dois termos:
Continuemos o cálculo:
Fazendo uma organização dos termos, teremos:
É possível notar que a parte dentro do box é igual ao valor de P(k), sendo assim, podemos substituir toda essa parte por 3m.
Apenas dessa maneira, é possível notar que, em todos os membros, todos os números são múltiplos de 3, logo, são passíveis de serem divididos por 3.
Para comprovar:
Com isso, foi provado que:
{n ∈ Z | n > 1 | n³ + 2n + 3 = 3m}
Quaisquer dúvidas, deixe nos comentários.
Bons estudos