Question

Mostre que para todo inteiro x tem-se que
${x}^{2} ≡0(mod4)$
ou
${x}^{2} ≡1(mod4)$
​Alguém ajuda pfvr??

Answer 1

Realizando esta prova, temos que números pares ao quadrado tem resto 0 por 4, e números impares tem resto 1 por 4.

Explicação passo-a-passo:

Então queremos provar que o resto da divisão de qualquer número inteiro x² por 4 é sempre 0 ou 1.

Para fazermos isto é bem simples, basta supormos dois caso, um no qual o número é par e no outro no qual ele é impar.

Número pares:

Todo número par pode ser escrito como 2n (Onde n é qualquer número inteiro), pois não importa o valor de n que colocar ele será sempre par. Assi mse substituirmos 2n em x teremos:

$x^2=(2n)^2=4n^2$

Assim vamos que o resultado é um quadrado multiplicado por 4, logo se dividirmos por 4, eles irão cortar e esta conta terá sempre resto 0.

Números ímpares:

Todo número ímpar pode ser escrito como 2n+1, sendo n novamente qualquer número inteiro. Substituindo 2n+1 em x, temos:

$x^2=(2n+1)^2=4n^2+4n+1$

Note que este resultado é a soma de 4n² que é divisel por 4, com 4n que também é divisel por 4, logo, são diviseis por 4, mais 1, que não é divisel por 4 , logo, toda esta soma é divisivel por 4, menos o 1 que fica sobrando, logo este resultado sempre tem resto 1.

Assim temos que números pares ao quadrado tem resto 0 por 4, e números impares tem resto 1 por 4.