Question

Mostre que os pontos médios de um quadrilátero ABCD no plano formam um
parlelogramo. Usando o fato que um quadrilátero MNP Q é um paralelogramo se, e somente se as diago-
nais se intersectam no ponto médio.

Answer 1

Abaixo temos a demonstração de que os pontos médios de um quadrilátero formam um paralelogramo.

Primeiramente, vamos construir um quadrilátero ABCD qualquer no plano. Considere que:

M é o ponto médio de AB, N é o ponto médio de BC, P é o ponto médio de CD e Q é o ponto médio de AD.

Feio isso, podemos traçar as diagonais AC e BD. Agora, observe o triângulo ABC.

Como M e N são pontos médios dos lados AB e BC, então pelo Teorema da base média, temos que 2MN = AC.

Analogamente, no triângulo ACD temos que 2PQ = AC. Ou seja, MN = PQ.

Podemos utilizar a mesma lógica para provar que MQ = NP.

Assim, o quadrilátero MNPQ é um paralelogramo e, portanto, suas diagonais se cruzam no ponto médio.