Question

Mostre que os pontos A(6, 5), B(3, 7) e C(2, -1) são vértices de um triângulo retângulo

Answer 1

Primeiramente, vamos encontrar as medidas dos lados. Para isso, basta encontrar a distância entre os pontos utilizando o teorema de Pitágoras, conforme a imagem anexa.

Encontrando as medidas:

$AB^2=(6-3)^2+(5-7)^2\\\\AB^2=3^2+(-2)^2\\\\AB^2=9+4\\\\AB=\sqrt{13}$

$BC^2=(3-2)^2+(7-(-1))^2\\\\BC^2=1^2+8^2\\\\BC^2=1+64\\\\BC=\sqrt{65}=\sqrt{5}\cdot\sqrt{13}$

$AC^2=(6-2)^2+(5-(-1))^2\\\\AC^2=4^2+6^2\\\\AC^2=16+36\\\\AC=\sqrt{52}=\sqrt{4\cdot13}=2\sqrt{13}$

Como √4 = 2, então √5 > 2. Com isso podemos concluir que a hipotenusa é o lado BC. Para um triângulo ser retângulo, seus lados devem obedecer o teorema de Pitágoras. Verificando:

$BC^2=AB^2+AC^2\\\\(\sqrt{65})^2=(\sqrt{13})^2+(\sqrt{52})^2\\\\65=13+52\\\\65=65$

Portanto, foi verificado que os pontos são vértices de um triângulo retângulo.