mostre que os números 15n+8 e 12n+7 são primos entre si ,20 PONTOS . Calculem pelo mdc
Soluções para a tarefa
(15n +8) * (12n + 7)
180n² +105n +96n +56
180n² +201n + 56
São primos entre si, caso não houver valor comum entre ambos.
180 = 2 * 2 * 3 * 3 * 5
201 = 3 * 67
56 = 2 * 2 * 2 * 7
Portanto, são primos entre si.
Vamos lá.
Veja, Lays, que a resolução parece simples. Envolve conhecimento sobre números que são primos entre si.
Antes de iniciar note que dois ou mais números serão primos entre si se - e somente se - o MDC entre esses números for igual à unidade (ou seja for igual a "1"). Em outras palavras, isso significa que só a unidade (1) é que dividiria esses números simultaneamente, pois o "1" é divisor natural de todo e qualquer número. Mas como se sabe, a unidade não entra como fator primo pois "1" não é primo.
Bem, sabendo-se disso , então vamos resolver a sua questão.
i) Mostre que os números (15n + 8) e (12n + 7) são primos entre si.
ii) Agora vamos fatorar esses dois números e vamos ver que eles NÃO terão fatores primos comuns. A propósito, note que o MDC entre dois ou mais números será o produto dos fatores primos COMUNS a esses dois ou mais números, que é o que caracterizaria haver MDC maior que a unidade.
iii) Uma forma bem prática de verificar isso seria nós multiplicarmos os dois números dados e encontrarmos o MDC dos coeficientes do polinômio que se formará a partir disso. Então vamos efetuar o produto entre (15n+8) e (12n + 7). Assim, teremos:
(15n+8)*(12n+7) = 180n² + 105n + 96n + 56 ---- reduzindo os termos semelhantes, ficaremos apenas com:
(15n+8)*(12n+7) = 180n² + 201n + 56
iv) Agora fatoraremos os coeficientes "56", 180" e "201" e você vai ver que não haverá nenhum fator primo que divida, SIMULTANEAMENTE, esses três números. Veja:
56, 180, 201 | 2
28, .90, 201 | 2
.14, .45, 201 | 2
..7, .45, 201 | 3
..7, ..15, .67 | 3
..7, ...5, .67 | 5
..7, ....1, .67 | 7
...1, ....1, .67 | 67
...1, ....1, ....1 |
Note: NÃO houve NENHUM fator primo que dividisse, SIMULTANEAMENTE, os três coeficientes dados, o que significa que o MDC será a unidade, ou seja, o MDC entre 56, 180 e 201 é igual a "1", o que caracteriza serem os números dados primos entre si.
(15n+8) e (12n+7) são primos entre si como demonstramos acima.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.