Question

mostre que o triângulo de vertice A(2,4), B(5,1), C(6,5), é isósceces e calcule seu perimetro

Answer 1

Para provarmos que um triângulo é isósceles, deveremos encontrar a medida de seus lados, e confirmar que ele terá dois lados iguais e um diferente.

Como a questão não deu o tamanho de cada um dos lados, teremos que encontrá-los, e como foram dadas as coordenadas dos vértices dos triângulos, deveremos encontrar a Distancia entre dois pontos, considerando os vértices A, B e C.

 A fórmula para encontrar a distância entre dois pontos é dada por:

$d_{AB} = \sqrt{ (x_{1} - x_{2}) ^{2} + ( y_{1} - y_{2})^2$

$d_{AB} = \sqrt{(2-5)^2 + (4 - 1)^2}$

$d_{AB} = \sqrt{3^2 + (-3)^2}$

$d_{AB} = \sqrt{9+9}$

$d_{AB} = \sqrt{18}$

Fatorando 18, encontraremos o lado AB de medida: $3 \sqrt{2}$

Vamos encontrar o lado AC

$d_{AC} = \sqrt{(6-2)^2 + (5-4)^2}$ 

$d_{AC} = \sqrt{4^2+1^2$

$d_{AC} = \sqrt{17}$

Agora vamos em busca do ultimo lado do triângulo: BC

$d_{BC} = \sqrt{(5-6)^2 + (1-5)^2}$

$d_{BC} = \sqrt{(-1)^2 + (-4)^2}$

$d_{AC} = \sqrt{17}$

Temos então a confirmação de que se trata de um triângulo isósceles pois, os lados AC e BC são iguais e medem $\sqrt{17}$

Agora para calcularmos o perímetro, basta somarmos a medida dos três lados, teremos:

$3 \sqrt{2} + \sqrt{17} + \sqrt{17}$

Como só podemos somar raízes com radicais iguais, a resposta final será:

P = $3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{17}$