Question

Mostre que dado um triangulo qualquer ABC, o segmento MN formado pelos pontos médio M e N de AB e BC, respectivamente, é paralelo a AC e tem comprimento igual a metade de AC.

Answer 1

Olá, Victor! ;)

 

Analisando o problema, concluímos que trata-se de um Teorema de Tales

 

 

Tales percebeu a partir da observação dos raios solares e das sombras que esses projetavam, que havia uma proporção entre a sombra e a altura dos objetos.

 

Então, temos que por definição se retas paralelas são cortadas por retas transversais, estas formam segmentos proporcionais.

A partir disso, podemos afirmar que ( a partir do problema dado):
$\frac{BM}{MA} = \frac{BN}{NC}$
Exemplo: Se o segmento BM for 10, MA 20, BN X, NC 12temos:$\frac{10}{20} = \frac{X}{12}$
10.12=20x120=20x=$\frac{120}{20}$x= 6.Ou seja, BN é metade do segmento NC.

Answer 2

A partir da vetorização dos segmentos, temos que

AM+MN=AN (1)

AN+NC=AC (2)

Logo, substituindo (1) em (2) temos: AM+MN+NC=AC (3).

Já que o enunciado nos dá AM=MB e NC=BN, pois M é o ponto médio de BC, substituindo, temos:

MB+MN+BN=AC (4)

Mas como MB+BN=MB, teremos: 2MN=AC