Question

Mostre que a soma dos n primeiros números positivos pares é n(n + 1).

Answer 1

Olá!

 A prova será feita aplicando um argumento combinatório, veja:

$\\ \displaystyle \mathsf{2 + 4 + 6 + 8 + ... + 2 \cdot (n - 1) + 2 \cdot n =} \\\\ \mathsf{2 \cdot \left [ 1 + 2 + 3 + 4 + ... + (n - 1) + n \right ] =} \\\\ \mathsf{2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} i =}$

 No Triângulo de Pascal, note que a segunda coluna é dada por: {1, 2, 3, 4,...}

 Com isso, podemos aplicar o Teorema das Colunas. Ele "diz" o seguinte:

 $\\ \displaystyle \mathbf{\binom{n}{n} + \binom{n + 1}{n} + \binom{n + 2}{n} + ... + \binom{n + p}{n} = \binom{n + p + 1}{n + 1}, \quad \forall \ n, p \in \mathbb{N}.}$

 Isto posto,

$\\ \displaystyle \mathsf{2 \cdot \sum_{i = 1}^{n} i =} \\\\\\ \mathsf{2 \cdot \left [ \binom{1}{1} + \binom{2}{1} + \binom{3}{1} + ... + \binom{n - 1}{1} + \binom{n}{1} \right ] =} \\\\\\ \mathsf{2 \cdot \binom{n + 1}{2} =} \\\\\\ \mathsf{2 \cdot \frac{(n + 1)!}{2!(n + 1 - 2)} =}$

$\\ \displaystyle \mathsf{2 \cdot \frac{(n + 1) \cdot n \cdot (n - 1)!}{2 \cdot 1(n - 1)!} =} \\\\\\ \mathsf{2 \cdot \frac{(n + 1) \cdot n}{2} =} \\\\\\ \boxed{\mathsf{(n + 1) \cdot n}}$