Question

Mostre que a função $\frac{1}{2}$ [f(x) + f(−x)] é par e que a função $\frac{1}{2}$ [f(x) − f(−x)] é ímpar. Use esse resultado para mostrar que qualquer função F: R → R pode ser escrita como a soma de uma função par com uma função ímpar.

Answer 1

Explicação:

Para mostrar que uma função $g$ é par, temos que ver que $g(x)=g(-x)$.

Tomando $g(x)=\frac{1}{2}[f(x) + f(-x)]$, temos

$g(-x) = \frac{1}{2}[f(-x)+f(-(-x))]=\frac{1}{2}[f(-x)+f(x)]=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]=g(x)$

Segue que $g$ é par.

Para mostrar que uma função $g$ é ímpar, temos que ver que

$g(x)=-g(-x)$.

Tomando $g(x)=\frac{1}{2}[f(x) - f(-x)]$, temos

$g(-x) = \frac{1}{2}[f(-x) - f(-(-x))] = \frac{1}{2}[f(-x) - f(x)] = \frac{1}{2}[-(f(x) - f(-x))]=-\frac{1}{2}[f(x) - f(-x)]=-g(x)$

Segue que $g$ é ímpar.

Para ver que uma função $f$ pode ser escrita como soma de uma função par e ímpar, basta notar que

$f(x)=\frac{1}{2}[f(x)+f(-x)]+\frac{1}{2}[f(x)-f(-x)]$