Question

mostre que a função F:R→,definida por f(x)=x³ e bijetora e determine sua inversa

Answer 1

Vamos lá.

Pede-se para mostrar que a função f(x) = x³ é bijetora.

Antes veja que:

a) Uma função será sobrejetora se o seu contradomínio for igual ao seu conjunto-imagem. E é fácil ver na função dada [f(x) = x³] que, para cada elemento do domínio encontraremos uma e somente uma imagem no contradomínio. Por isso, o contradomínio é igual ao conjunto-imagem. E isso caracteriza uma função sobrejetora.

b) E uma função será injetora se os elementos do contradomínio forem "flechados" apenas uma vez pelos elementos do domínio. Por exemplo, na função dada [f(x) = x³], teríamos: para x = -1 teremos f(-1) = -1; para x = 0, teremos f(0) = 0; para x = 1, teremos f(1) = 1; para x = 2, teremos f(2) = 8. E assim vai, demonstrando que um valor de "x" só "flechará" uma única vez cada elemento do contradomínio. E isso caracteriza uma função injetora.

c) Assim, como a função dada [f(x) = x³] é sobrejetora e injetora, então ela é BIJETORA.

Bem, agora que já mostramos que a função é BIJETORA, vamos encontrar a sua inversa. Para isso, siga estes passos:

i) Troque "f(x)" por "y", com o que ficaremos:

y = x³

ii) Troque "y" por "x" e "x" por "y", ficando assim:

x = y³

iii) Agora isole "y" e teremos a função inversa pedida. Vamos apenas inverter, ficando assim:

y³ = x
y = ∛(x) <--- pronto. Esta é a inversa pedida.

Ou, se quiser, poderemos trocar "y" pela representação usual de uma função inversa, que é esta:

f⁻¹(x) = ∛(x) <--- Esta é a representação usual de uma função inversa e que é a inversa da função f(x) = x³

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.