Question

Mostre que a forma trigonométrica de ( -5) é:

 5.(cos π + i sen π).

(favor responder detalhadamente) :)

Answer 1

Olá Optimistic!!

 Sabemos que um número complexo é da forma $\mathbf{Z = a + bi}$, onde $\mathsf{a, b \in \mathbb{R}}$.

 Sabemos também que o número "Z" pode ser representado numa forma trigonométrica, e, de um modo geral, a partir da FIGURA I, temos:

$\\ \bullet \quad \mathsf{M\acute{o}dulo} \\\\ \mathsf{r^2 = a^2 + b^2} \\\\ \mathsf{r = \sqrt{a^2 + b^2}} \\\\ \boxed{\mathsf{r = |z| = \sqrt{a^2 + b^2}}} \qquad \mathsf{(i)}$

$\\ \bullet \quad \mathsf{Argumento} \\\\ \mathsf{\cos \theta = \dfrac{a}{r}} \\\\ \boxed{\mathsf{a = r \cdot \cos \theta}} \qquad \mathsf{(ii)}$

$\\ \bullet \quad \mathsf{Argumento} \\\\ \mathsf{\sin \theta = \dfrac{b}{r}} \\\\ \boxed{\mathsf{b = r \cdot \sin \theta}} \qquad \mathsf{(iii)}$

Substituindo (ii) e (iii) em $\mathsf{z = a + bi}$, teremos:

$\\ \mathsf{z = a + bi} \\\\ \mathsf{z = r \cdot \cos \theta + r \cdot \sin \theta \cdot i} \\\\ \mathsf{z = r \cdot \left ( \cos \theta + i \cdot \sin \theta \right )}$ 


 Isto posto, podemos concluir a tarefa; veja:

 Uma vez que, $\mathbf{z = - 5}$, temos:

$\\ \mathsf{r = |z| = \sqrt{(- 5)^2 + 0^2}} \\\\ \mathsf{r = \sqrt{25}} \\\\ \boxed{\mathsf{r = 5}}$

 Além disso, vimos que:

$\\ \mathsf{\cos \theta = \dfrac{a}{r}} \\\\\\ \mathsf{\Rightarrow \cos \theta = \dfrac{(- 5)}{5}} \\\\ \mathsf{\Rightarrow \cos \theta = - 1} \\\\ \mathsf{\Rightarrow \theta = \cos^{- 1} (- 1)} \\\\ \Rightarrow\boxed{\mathsf{\theta=\pi}}$


 Por fim,

$\\ \mathsf{z = a + bi} \\\\ \mathsf{z = r \cdot \left ( \cos \theta + i \cdot \sin \theta \right )} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{z = 5 \cdot \left ( \cos \pi + i \cdot \sin \pi \right )}}}$


 Como queríamos demonstrar!!