Question

Mostre que a área de um triângulo equilátero de lado a é dada por A= a^2√3/4.​

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Sabemos que área de todo triângulo é dado por

$\frac{b*h}{2}$, onde h é altura e b é a base.

Na figura, vamos calcular a altura. Num triângulo equilátero, a altura encontra a base em seu ponto médio, ou seja AD=BC.

Vamos calcular a altura.

O lado mede a, então com D é ponto médio de AB, então $AD= \frac{a}{2}$, AC= a.

Podemos usar o Teorema de Pitágoras:

$AC^2= AD^2+CD^2\\\\a^2= ( \frac{a}{2})^2 +CD^2\\\\a^2 = \frac{a^2}{4} + CD^2\\\\a^2- \frac{a^2}{4} = CD^2\\\\\frac{4a^2-a^2}{4} = CD^2\\CD^2 = \frac{3a^2}{4}\\\\CD= \sqrt{\frac{3a^2}{4}}\\\\CD= \frac{\sqrt{3a^2}}{\sqrt{4}}\\\\CD= \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Descobrimos a altura do triângulo equilátero.

Agora vamos calcular a área

$\frac{b*h}{2} =\\\\\frac{a*\frac{a\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2*2}= \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Provado!