Question

Mostre que a aplicação T : R → R , T(x) = x² não é uma transformação linear.

Answer 1

Resposta:

Vide explicação

Explicação passo-a-passo:

Primeiro vamos definir uma transformação linear.

Sejam U e V espaços vetorias Dizemos que uma função $T:U\rightarrow V$ é uma transformação linear se tiver as seguinte propriedades:

$\text{(I)}\quad T(u + v) = T(u) + T(v),\quad \forall u, v \in U\\\text{(II)}\quad T(\lambda u ) =\lambda T(u) ,\quad \forall u \in U,\, \lambda \in \mathbb{R}$

Vamos verificar essas propriedades então:

$T:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}\\(x) \mapsto \left(x^2\right)$

$\text{(I)}\quad T(u + v) = T(u) + T(v)\\\\T(u + v) = T(u) + T(v) \Rightarrow (u+v)^2 = u^2 + v^2$

Na propriedade podemos ver que é falso pois:

$T(u + v) = T(u) + T(v) \Rightarrow (u+v)^2 = u^2 + v^2\\\\(u+v)^2 \ne u^2 + v^2\\\\u^2+2uv+v^2 \ne u^2 + v^2$

Logo não é uma transformação linear, agora a segunda propriedade:

$\text{(II)}\quad T(\lambda u ) =\lambda T(u) ,\quad \forall u \in U,\, \lambda \in \mathbb{R}\\\\T(\lambda u ) =\lambda T(u)\\\\T(\lambda u ) =\lambda T(u)\Rightarrow (\lambda u)^2 = \lambda u^2$

Novamente falso pois:

$T(\lambda u ) =\lambda T(u)\Rightarrow (\lambda u)^2 = \lambda u^2\\\\(\lambda u)^2 \ne \lambda u^2\\\\\lambda^2 u^2 \ne \lambda u^2$

Está provado que não é uma transformação linear, qualquer dúvida respondo nos comentários.