Question

mostre que (4,-2) nao pode ser combinação linear de (-3,2) e (9,-6)

Answer 1

A questão pede para mostrar que não existem escalares $\alpha_{1},\;\alpha_{2},$ tais que

$\alpha_{1}\cdot(-3,\,2)+\alpha_{2}\cdot (9,\,-6) =(4,\,-2)$


Podemos reescrever a expressão acima assim:

$(-3\alpha_{1},\,2\alpha_{1})+(9\alpha_{2},\,-6\alpha_{2})=(4,\,-2)\\ \\ (-3\alpha_{1}+9\alpha_{2},\,2\alpha_{1}-6\alpha_{2})=(4,\,-2)\\ \\ \\ \left\{ \begin{array}{rcrc} -3\alpha_{1}+9\alpha_{2}&=&4&\;\;\;(i)\\ 2\alpha_{1}-6\alpha_{2}&=&-2&\;\;\;(ii) \end{array} \right.$


Multiplicando a primeira equação por $2$ e a segunda equação por $3,$ temos

$\left\{ \begin{array}{rcrc} -6\alpha_{1}+18\alpha_{2}&=&8&\;\;\;2\times (i)\\ 6\alpha_{1}-18\alpha_{2}&=&-6&\;\;\;3\times (ii) \end{array} \right.$


Somando as duas equações membro a membro, chegamos a

$0\alpha_{1}+0\alpha_{2}=2\\ \\ 0=2$


Como a igualdade acima é um absurdo, então não existe solução para o sistema de equações.


Logo, não existem escalares $\alpha_{1},\;\alpha_{2},$ tais que

$\alpha_{1}\cdot(-3,\,2)+\alpha_{2}\cdot (9,\,-6) =(4,\,-2)$