Question

Mostre que √2 é um número irracional?
​

Answer 1

Nessa prova suponhamos que ele seja um número racional, logo ele poderá ser escrito na forma  A/B, onde A ∈ ℤ e B ∈ ℤ (B ≠ 0) - definição de numero racional.

Supondo √2 racional, ou melhor, √2 = A/B. Consideramos A/B fração irredutivel, ou seja, MDC(A, B) = 1. Elevando tudo ao quadrado

(√2)² = (A/B)² ⇒ A²/B² = 2 ⇒ A² = 2B²

Os numeros pares podem ser escritos como 2k, com k ∈ ℤ. De A² = 2B² temos B² = k é par....

Logo A² é par ⇒ A é par ⇒ A = 2m (m ∈ ℤ)    I

Notemos que A = 2m ⇒ A² = 4m² dai 2B² = 4m² ⇒ B² = 2m² →

B² é par ⇒ B é par     II

Concluimos (I) que A é par e (II) que B é par sao contraditorias, pois A e B foram supostos primos entre si. Chegamos num absurdo, logo √2 nao pode ser racional, entao √2 é irracional.

________________________

Fonte:

Livro Matematica - Projeto Multiplo

Luiz Roberto Dante

(vol. 1, pag 22 - ISBN 978 85 08 16750-0)