Question

Mostre pelo Princípio da Indução Matemática que:
(a)
1 × 3 + 2 × 4 + 3 × 5 + · · · + n(n + 2) =
n(n + 1)(2n + 7)/6
para todo número natural n ≥ 1.

(b) n3 − n é divisível por 3 para todo número natural n ≥ 2.

Answer 1

Resposta:

a)

$\frac{2k^{3}+9k^{2}+7k}{6} + (k + 1)*[(k+1)+2]\\\\\frac{2k^{3}+9k^{2}+7k}{6}+(k+1)*(k+3)\\\\\frac{2k^{3}+9k^{2}+7k}{6}+(k^{2}+4k+3)\\\\\frac{2k^{3}+9k^{2}+7k+6(k^{2}+4k+3)   }{6}\\\\\frac{2k^{3}+9k^{2}+7k+6k^{2}+24k+18}{6}\\\\\frac{2k^{3}+15k^{2}+31k+18}{6}$

b) não e possível provar para n ≥ 2

Explicação passo-a-passo:

Para provarmos por indução finita, primeiro temos que testar a hipótese em um caso base, depois assumir que a hipótese e valida para n = k e depois provar que e valida para n = (k + 1). Caso a hipótese seja valida para n = (k+1) teremos provado por indução finita.

a) Para n = 1

$\frac{1(1+1)*(2*1+7)}{6}\\\\\frac{1*2*9}{6}\\\\\frac{18}{6}\\\\3$

Para n = k

$1*3+2*4+3*5+...+k(k+2)=\frac{k(k+1)*(2k+7)}{6}\\\\\frac{(k^{2}+k)*(2k+7)}{6}\\\\\frac{2k^{3}+7k^{2}+2k^{2}+7k}{6}\\\\\frac{2k^{3}+9k^{2}+7k}{6}$

Para n = k + 1

$1*3+2*4+3*5+...+k(k+2)+(k+1)*[(k+1)+2]=\frac{(k+1)*[(k+1)+1]*[2(k+1)+7]}{6}\\\\\frac{(k+1)*(k+2)*(2k+2+7)}{6}\\\\\frac{(k^{2}+2k+k+2)*(2k+9)}{6}\\\\\frac{(k^{2}+3k+2)*(2k+9)}{6}\\\\\frac{2k^{3}+9k^{2}+6k^{2}+27k+4k+18}{6}\\\\\frac{2k^{3}+15k^{2}+31k+18}{6}$

Somando n = k + (k + 1)

$\frac{2k^{3}+9k^{2}+7k}{6} + (k + 1)*[(k+1)+2]\\\\\frac{2k^{3}+9k^{2}+7k}{6}+(k+1)*(k+3)\\\\\frac{2k^{3}+9k^{2}+7k}{6}+(k^{2}+4k+3)\\\\\frac{2k^{3}+9k^{2}+7k+6(k^{2}+4k+3)}{6}\\\\\frac{2k^{3}+9k^{2}+7k+6k^{2}+24k+18}{6}\\\\\frac{2k^{3}+15k^{2}+31k+18}{6}$

obtemos o mesmo resultado que n = k + 1, provando o exercício por indução finita.

b) Para n = 2

$2*3 - 2\\6 - 2\\4$

A hipótese não e valida para n = 2 pois 4 não e divisível por 3. Você tem certeza de que o exercício e para n ≥ 2 e não para n > 2?

Para n ≥ 2 não e possível provar por indução finita.