Question

Mostre (através de cálculos) que a função $f(x) = |4 - {x}^{2} |$ não é diferenciável (derivável) em $x = 2$.

Answer 1

Queremos mostrar que a função $f(x)=|4-{x}^2|$ não é derivável no ponto $x=2.$ Para tanto, precisamos mostrar que o limite a seguir não existe.

$\displaystyle \lim_{h \to 0} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}$

De início, vamos calcular o limite à direita do 0:

$\displaystyle\lim_{h \to {0}^{+}} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} =  \lim_{h \to {0}^{+}} \dfrac{|4-{(2+h)}^{2}|-|4-{2}^{2}|}{h} = \lim_{h \to {0}^{+}} \dfrac{|4-4-4h-{h}^{2}|-0}{h} = \lim_{h \to {0}^{+}} \dfrac{-4h-{h}^{2}}{h} = \lim_{h \to {0}^{+}} \dfrac{|-1(4h+{h}^{2})|}{h} = \lim_{h \to {0}^{+}} \dfrac{4h+{h}^{2}}{h}= \lim_{h \to {0}^{+}} \dfrac{|h||h+4|}{h}$

Quando $h$ tende a zero pela direita, os valores de h são positivos, por conseguinte o módulo de h é igual a $h.$ Assim, como também é positivo o valor de $h +4$ Daí,

$\displaystyle\lim_{h \to {0}^{+}} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to {0}^{+}} \dfrac{|h||h+4|}{h} =  \lim_{h \to {0}^{+}} \dfrac{h(h+4)}{h}=4$

Agora vamos calcular o limite pela esquerda do zero.

$\displaystyle\lim_{h \to {0}^{-}} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to {0}^{+}} \dfrac{|h||h+4|}{h}$

Quando $h$ se aproxima de zero pela esquerda, os valores de h são negativos e, consequentemente, o módulo de h vai ser $-h.$ Como h é negativo, então $h+4 <4.$ Quanto mais h se aproxima de 0 pela esquerda o valor de h+4 tende a ser positivo. Mais especificamente, quando h> -4, temos h+4>0. Dessa forma o módulo de h+4 tende a ser positivo.

Daí,

$\displaystyle\lim_{h \to {0}^{-}} \dfrac{f(2+h)-f(2)}{h} = \lim_{h \to {0}^{+}} \dfrac{|h||h+4|}{h} = \lim_{h \to {0}^{+}} \dfrac{-h(h+4)}{h}   =\lim_{h \to {0}^{+}} (-h-4) = -4$

Como os limites laterais são distintos, então o limite não existe quando h tende a 0. Logo, a função não é derivável no ponto x = 2.