Question

mostrar se a função é continua em x= -1. Caso seja descontínua, mostrar o tipo de descontinuidade

Answer 1

Vamos calcular cada um dos limites laterais em $x=-1$:

$\lim\limits_{x \to -1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to -1^+} \dfrac{1}{x-3} = \dfrac{1}{-1-3} = -\dfrac{1}{4}.$

$\lim\limits_{x \to -1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to -1^-} (x+1) = -1 + 1 = 0.$

Uma vez que os limites laterais são distintos, o limite não existe:

$\lim\limits_{x \to -1^+} f(x) \neq \lim\limits_{x \to -1^-} f(x) \iff \lim\limits_{x \to -1} f(x) \textrm{ n\~{a}o existe}.$

Portanto, a função $f$ é descontínua em $x=-1$. Como os limites laterais existem, são finitos e distintos, temos uma descontinuidade de salto.