Question

Mostrar que $\lim_{x \to \infty} \sqrt[n]{( x + a1) (x + a2) ... (x + an)} - x = \frac{a1 + a2 + ...+ an}{n}$

Answer 1

Queremos calcular o limite

$L = \displaystyle \lim_{x \to \infty}\,\sqrt[n]{(x+a_1)(x+a_2) \cdots (x+a_n)} - x$

Primeiro vamos fazer a mudança de variável t = 1/x e obter:

$L = \displaystyle \lim_{t \to 0^+}\,\dfrac{\sqrt[n]{(1+a_1t)(1+a_2t) \cdots (1+a_nt)} - 1}{t}$

Nosso objetivo agora é eliminar essa raiz do numerador. Para isso vamos escrever

$A = \sqrt[n]{(1+a_1t)(1+a_2t) \cdots (1+a_nt)}$

(não é uma mudança de variável, é apenas pra escrever menos já que esse termo irá aparecer muitas vezes e a expressão ficaria gigantesca). Lembrando da fatoração

Aⁿ - 1 = (A - 1)(1 + A + A² + ... + Aⁿ⁻¹)

temos então:

$L = \displaystyle \lim_{t \to 0^+}\,\dfrac{A - 1}{t} = \lim_{t \to 0^+}\,\dfrac{A^n - 1}{t\,(1+ A + A^2 + \cdots + A^{n-1})}$

Observe que A tende a 1 quando t tende a 0. Assim, a expressão

1 + A + A² + ... + Aⁿ⁻¹

tende a n. Daí só temos que lidar com o t no denominador e o numerador. Analisando o numerador temos

Aⁿ - 1 = (1 + a₁t)(1 + a₂t) ··· (1 + aₙt) - 1

Não precisamos desenvolver o produto (1 + a₁t)(1 + a₂t) ··· (1 + aₙt) totalmente. Basta sabermos que isso é um polinômio em t de grau n e calcularmos alguns de seus coeficientes. Ou seja

(1 + a₁t)(1 + a₂t) ··· (1 + aₙt)  = p(t)

p(t) = C₀ + C₁t + C₂t² + C₃t³ + ... + Cₙtⁿ

O importante aqui é que C₀ = 1 e que

C₁ = a₁ + a₂ + ··· + aₙ

Logo:

Aⁿ - 1 = C₁t + C₂t² + C₃t³ + ... + Cₙtⁿ

Aⁿ - 1 = t( C₁ + C₂t¹ + C₃t² + ... + Cₙtⁿ⁻¹ )

Substituindo isso no limite temos

$L = \displaystyle\lim_{t \to 0^+}\,\dfrac{t( C_1 + C_2t + C_3t^2+ \cdots C_nt^{n-1}) }{t\,(1+ A + A^2 + \cdots + A^{n-1})} \implies \boxed{ L = \dfrac{C_1}{n}}$

Assim o limite é

L = (a₁ + a₂ + ··· + aₙ) / n

Obs.: Não é necessário fazer essa substituição do começo. Podemos resolver diretamente, e a dificuldade é basicamente a mesma. Mas sem a mudança de variável é muito mais trabalhoso para explicar, pois a expressão é muito grande.

Resposta:

L = (a₁ + a₂ + ··· + aₙ) / n