Question

Mostrar que P(X)=X^(n+2) - X^n - X -1 é divisível por x+1 p| qualquer n pertencente |N.

Answer 1

Resolução:
⇒ se n é par, então n+2 também é par e (-1)ⁿ = (-1)ⁿ⁺² = 1.
desse modo podemos escrever:
p(-1)=(-1)ⁿ⁺² - (-1)ⁿ - (-1) - 1= 1-1+1-1⇒ p(-1) = 0
se p(-1) = 0 então p(x) é divisível por p+1.

⇒ se n é impar, então n+2 também é impar e (-1)ⁿ = (-1)ⁿ⁺² = 1
desse modo, podemos escrever:
p(-1) = (-1)ⁿ⁺² - (-1)ⁿ - (-1) - 1 = -1-(-1)+1-1 ⇒ p(-1) = 0

se p(-1) = 0 então p(x) é divisível por x+1.
logo, p(x) é divisível por x+1,para ∀ n ∈ |N.

bons estudos.