Question

Mostrar que as funcoes seguintes sao harmonicas:

A) $u= x^{2}+2x-y^{2}$

B) $u= arctg\frac{y}{x}$

C) $u=ln(x^{2}+y^{2})$

D) $u=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}$

Answer 1

Vamos lá.

Ronny, para provar que uma determinada função f(x, y) é harmônica, basta mostrar que a soma de suas derivadas segundas dão igual a zero, ou seja, a derivada segunda em relação a "x" MAIS a derivada segunda em relação a "y" é igual a zero.
Então, dentre as funções dadas, vamos resolver apenas a primeira questão, que é a mais simples. As demais  embora dê pra fazer, mas são mais trabalhosas para encontrar suas derivadas segundas. O importante é que você já sabe como demonstrar quando uma função é harmônica, ok?
Então vamos trabalhar apenas com a primeira função, que é a do item "a" e que é esta:

f(x, y) = x² + 2x - y²

Agora vamos calcular a derivada primeira e a derivada segunda em relação a "x"; depois calcularemos a derivada primeira e a derivada segunda em relação a "y". Finalmente, somaremos as duas derivadas segundas encontradas e esta soma deverá dar igual a zero, para que a função original dada seja harmônica.
Então vamos fazer isto:

i) f(x, y) = x² + 2x - y²

i.1) Encontrando a derivada primeira em relação a "x", teremos:

f'(x)(x, y) = 2x + 2

i.2) Encontrando a derivada segunda em relação a "x", teremos:

f''(x)(x, y) = 2.

i.3) Encontrando a derivada primeira em relação a "y", teremos:

f'(y)(x, y) = - 2y

i.4) Encontrando a derivada segunda em relação a "y", teremos:

f''(y)(x, y) = - 2.

ii) Agora vamos somar as duas derivadas segundas, ou seja, vamos somar isto:

f''(x)(x, y) + f''(y)(x, y) ----- fazendo as devidas substituições, teremos:

f''(x)(x, y) + f''(y)(x, y) = 2 + (-2)
f''(x)(x, y) + f''(y)(x, y) = 2 - 2
f''(x)(x, y) + f''(y)(x, y) = 0 <--- Pronto. Como está demonstrado que é igual a zero a soma das duas derivadas segundas encontradas, então é porque a função originalmente dada é harmônica.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.