Question

Mostrar que a $x= A cos( \omega t + \alpha )$ onde $A, \omega , \alpha$ são constantes, satisfaz a equação $\frac{ d^{2} x}{ dt^{2}} + \omega^{2} x = 0$

Answer 1

derivando uma vez:

$\frac{d}{dt}(Acos(wt+a)=A \frac{d}{dt}(cos(wt+a)$

Seja wt+a=u, pra facilitar a regra da cadeia:


$=A \frac{d}{du}(cos(y)) \frac{d}{dt}(wt+a)$

$\frac{d}{du}(cos(u))=-sin(u)$

$\frac{d}{dt}(wt+a)=w$

Logo:

$=A(-sin(wt+a))w=-Awsin(wt+a$

Derivando de novo:

$\frac{d}{dt}(-Asin(wt+a))=-Aw \frac{d}{dt}(sin(wt+a))$

$=-Aw \frac{d}{du}(sin(u)) \frac{d}{dt}(wt+a)$

$\frac{d}{du}(sin(u))=cos(u)$

$\frac{d}{dt}(wt+a)=w$

Logo:

$=-Awcos(u)w=-Acos(wt+a)w=-Aw^2cos(wt+a)$

Então

$\frac{d^2x}{dt^2}=-Aw^2cos(wt+a)$

Substituindo na equação que é para demonstrar:

$\frac{d^2x}{dt^2}+w^2x=0 -Aw^2cos(wt+a)+w^2(Acos(wt+a))=0 -Aw^2cos(wt+a)+Aw^2cos(wt+a)=0 Aw^2cos(wt+a)=Aw^2cos(wt+a) cqp$