Question

Modelos físicos podem ser analisados e interpretados utilizando as equações diferenciais. por isso, é muito importante saber as técnicas para resolução dessas equações. Considere o problema de valor inicial 2senx dx + ydy = 0, y(pi/3) = 2 qual o valor aproximado de y(pi/2) ?

Answer 1

Resposta:

$y\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \approx \dfrac{24-\pi\sqrt{2}}{12}\approx 1.63.$

Explicação passo-a-passo:

Podemos começar por reescrever o problema na forma

$2\sin x \textrm{ d}x + y\textrm{ d}y = 0 \iff \textrm{d}y = -\dfrac{2\sin x}{y}\textrm{ d}x.$

Isto significa que um passo "pequeno" $\textrm{d}x$ em $x$ se traduz numa "pequena" variação $\textrm{d}y$ em $y$. Assim, visto conhecermos o valor de $y\left(\frac{\pi}{3}\right)$, podemos utilizar o passo

$\textrm{d}x \approx \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\pi}{6}.$

Assim, substituindo na fórmula, vem

$\textrm{d}y = -\dfrac{2\sin x}{y}\textrm{ d}x \approx -\dfrac{2\sin(\pi/3)}{y(\pi/3)} \times \dfrac{\pi}{6} = - \dfrac{2\times\sqrt{3}/2}{2} \times \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\pi\sqrt{2}}{12}.$

Portanto, a aproximação desejada é

$y\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \approx y\left(\dfrac{\pi}{3}\right) + \textrm{ d}y \approx 2-\dfrac{\pi\sqrt{2}}{12} = \dfrac{24-\pi\sqrt{2}}{12} \approx 1.63.$

Note-se que a solução exata é:

$y(x) = \sqrt{2+4\cos x},$

pelo que

$y\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = \sqrt{2+4\cos(\pi/2)} = \sqrt{2} \approx 1.41.$

Assim, a aproximação é razoável. Note-se, ainda assim, que o passo utilizado é bastante grande.