mim ajudem por favor !!Prove analiticamente que os segmentos de reta que ligam os pontos médios dos lados opostos de um quadrilátero dividem ao meio um ao outro.
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Olá Lucas
Seja ABCD um quadrilátero. Assim, os vetores somados AB+BC+CD+DA=0 (circuito). - não consigo desenhar a seta em cima dos vetores...-
Por definição, os vetores AM=AB/2 , BN=BC/2 , CO=CD/2 e DP=DA/2. Equações (I)
Em outro circuito, somando-se MB+BN+NX+XM=0 .
Então, substituindo-se MB e BN: AB/2+BC/2+NX+XM=0 ---> NX+XM= -AB/2-BC/2 (II)
EM outro circuito, NC+CO+OX+XN=0 (III) . Substituindo-se as equações (I) ---> BC/2+DC/2+OX-NX=0 Então NX= BC/2+DC/2+OX (IV).
Substituindo-se (IV) em (II): BC/2+DC/2+OX+XM = -AB/2-CB/2 ---> BC/2+CB/2+DC/2+OX+XM-AB/2=0
Então OX+XM=AB/2+DC/2, ou seja, o segmento OM (OX+XM), que liga os pontos médios de CD e AB , é a média aritmética dos segmentos AB e DC que os geraram.
O mesmo raciocínio pode sr aplicado para achar que NX+XP=BC/2+DA/2.
Fica portanto demonstrada a asserção.
Bons estudos !
Seja ABCD um quadrilátero. Assim, os vetores somados AB+BC+CD+DA=0 (circuito). - não consigo desenhar a seta em cima dos vetores...-
Por definição, os vetores AM=AB/2 , BN=BC/2 , CO=CD/2 e DP=DA/2. Equações (I)
Em outro circuito, somando-se MB+BN+NX+XM=0 .
Então, substituindo-se MB e BN: AB/2+BC/2+NX+XM=0 ---> NX+XM= -AB/2-BC/2 (II)
EM outro circuito, NC+CO+OX+XN=0 (III) . Substituindo-se as equações (I) ---> BC/2+DC/2+OX-NX=0 Então NX= BC/2+DC/2+OX (IV).
Substituindo-se (IV) em (II): BC/2+DC/2+OX+XM = -AB/2-CB/2 ---> BC/2+CB/2+DC/2+OX+XM-AB/2=0
Então OX+XM=AB/2+DC/2, ou seja, o segmento OM (OX+XM), que liga os pontos médios de CD e AB , é a média aritmética dos segmentos AB e DC que os geraram.
O mesmo raciocínio pode sr aplicado para achar que NX+XP=BC/2+DA/2.
Fica portanto demonstrada a asserção.
Bons estudos !
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