Question

meu professor resolveu essa equação mas tenho uma dúvida! Segue a conta!
Log2(3-x) + Log2(1-x)=3
Log2 (3-x).(1-x)=2³
3 - 3x-x+x²= 8 <-- aqui está minha dúvida, mesmo se eu usar propriedade de potencia em Log,não tem como dar 8, alguém pode me explicar ?

Answer 1

$Resolu\c{c}\~ao\to \left\{\begin{array}{ccc}log_2(3-x)+log_2(1-x) = 3\\\\log_2(3-x)*(1-x) = 3\\\\2^3 = (3-x)*(1-x)\\\\8 = 3-3x-x+x^2\\\\x^2-4x-5 = 0\\\\ \Delta =16+20 = 36 \\\\ x = \frac{4\pm6}{2} \left \{ {{x'=5} \atop {x''=-1}} \right. \end{array}\right$

$Solu\c{c}\~ao \to \left\{\begin{array}{ccc}\boxed{S = \{-1\}}\\\\Lembrando\ que:\\\\log_ba = x \\\\ b^x = a \\\\a>0\ e \ b >0 \neq 1\\\\log_b(a*c) = log_ba+log_bc\end{array}\right$

Espero ter ajudado. :))

Answer 2

E aí mano,

dada a equação logarítmica

$log_2(3-x)+log_2(1-x)=3$

vamos impor a condição de existência para que os logaritmos acima exista:

$C.E.\begin{cases}3-x>0~~~~~~~1-x>0\\ -x>-3~~~~~~~~1>x\\ x<3\end{cases}$

Imposta a condição de existência, veja a propriedade que vamos usar:

$logb+logc~\to~log(b*b)$


Resolvendo a equação, temos que:

$log_2(3-x)*(1-x)=3\\\\ sabendo-se~que~3=log_28, temos:\\\\ log_2(3-x)*(1-x)=log_28\\\\ como~as~bases~s\~ao~iguais,~podemos~elimina-las:\\\\ (3-x)*(1-x)=8\\\\ 3-3x-x+ x^{2} =8\\ x^{2} -4x+3=8\\ x^{2} -4x+3-8=0\\ x^{2} -4x-5=0\\ (x+1)(x-5)=0\\\\ x'=-1~~e~~x''=5$

Vemos que ao serem testadas as raízes da equação do 2°, na equação logarítmica acima, somente x= -1 satisfaz a condição de existência. Portanto, o conjunto solução da equação acima é:

$\boxed{S=\{-1\}}$

Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))