Question

Metodo gauss - jordan
2x+y+3z=8
4x+2y+2z=4
2x+5y+3z=-12

Answer 1

Olá, boa tarde.

Devemos resolver o seguinte sistema de equações utilizando o Método de Gauss-Jordan:

$\begin{cases}2x+y+3z=8\\4x+2y+2z=4\\2x+5y+3z=-12\\\end{cases}$

Reescrevemos este sistema utilizando a notação de matriz ampliada:

$\left[\begin{array}{ccc|c}2&1&3&8\\4&2&2&4\\2&5&3&-12\\\end{array}\right]$

Então, utilizamos o Método de Gauss-Jordan, também conhecido como Eliminação de Gauss-Jordan, consiste em multiplicarmos uma linha por uma constante e somar a outra linha, de modo a escalonarmos o sistema.

Escolhemos os elementos da diagonal da matriz principal como pivôs: devemos tornar os elementos abaixo deles iguais a zero, isto é, transformar a matriz principal em uma matriz triangular superior.  

Fazendo $a_{11}=2$ como elemento pivô, multiplicamos a primeira linha por $(-2)$ e somamos à segunda linha:

$\left[\begin{array}{ccc|c}2&1&3&8\\4&2&2&4\\2&5&3&-12\\\end{array}\right]~ L_1\cdot(-2)+L_2\\\\\\\ \left[\begin{array}{ccc|c}2&1&3&8\\0&0&-4&-12\\2&5&3&-12\\\end{array}\right]$

Observe que apenas um elemento da linha é diferente de zero: isto nos permite calcular o valor da incógnita atribuída a este elemento.

$0\cdot x+0\cdot y +(-4)\cdot z=-12\\\\\\ -4z=-12$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $(-4)$

$z=3$

Substituindo estes resultados em duas das equações do sistema, podemos reduzir a ordem do sistema, de forma a obtermos:

$\begin{cases}2x+y+3\cdot 3=8\\2x+5y+3\cdot3=-12\\\end{cases}\\\\\\\Rightarrow \begin{cases}2x+y=-1\\2x+5y=-21\\\end{cases}$

Em notação de matriz ampliada, temos:

$\left[\begin{array}{cc|c}2&1&-1\\2&5&-21\\\end{array}\right]$

Multiplique a primeira linha por um fator $(-1)$ e some à segunda linha

$\left[\begin{array}{cc|c}2&1&-1\\2&5&-21\\\end{array}\right]~L_1\cdot(-1)+L_2\\\\\\\left[\begin{array}{cc|c}2&1&-1\\0&4&-20\\\end{array}\right]$

Novamente, podemos calcular o valor da incógnita atribuída ao segundo elemento desta matriz:

$0\cdot x+4\cdot y = -20\\\\\\ 4y=-20$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $4$

$y=-5$

Substituindo este resultado em qualquer uma das equações, finalmente calculamos o valor da última incógnita:

$2x+1\cdot (-5)=-1\\\\\\ 2x-5=-1$

Some $5$ em ambos os lados da igualdade

$2x=4$

Divida ambos os lados da igualdade por um fator $2$

$x=2$

O conjunto solução deste sistema de equações lineares é:

$\Large{\boxed{S=\{(x,~y,~z)\in\mathbb{R}^3~|~(x,~y,z)=(2,\,-5,~3)\}}}$