Question

método de substituição determinar a integral com intervalo 0 a 1 (x³+ 2) elevado a 4. x² dx

Answer 1

Fazendo x³+2 = u temos que 3x²dx = du. Como a variável foi alterada os limites também são alterados: o limite inferior x=0 passa a ser u=2 e o superior passa a ser u=3 (só substituir). Também multiplicando e dividindo a integral por 3 temos:

$\int\limits^1_0 {x^{2}(x^{3}+2)^{4}} \, dx = \frac{1}{3} \int\limits^1_0 {3x^{2}(x^{3}+2)^{4}} \, dx = \frac{1}{3} \int\limits^3_2 {u^{4}} \, du$

A integral indefinida $\int {u^{4}} \, du = \frac{u^{5}}{5} + c$, logo aquela integral é igual a:

$\int\limits^1_0 {x^{2}(x^{3}+2)^{4}} \, dx = \frac{1}{3}(\frac{243}{5}-\frac{32}{5})$ => $\int\limits^1_0 {x^{2}(x^{3}+2)^{4}} \, dx = \frac{211}{15}$