Question

me dá uma ajuda aí, a imagem referente a questão está logo acima​

Answer 1

A equação do movimento do oscilador harmônico amortecido é da forma:

$\displaystyle{\ddot x + \frac{b}{m}\dot x +\frac{k}{m}x=0}$

Usando os valores que temos ficamos com:

$\displaystyle{\ddot x + \frac{0.072}{0.2}\dot x +\frac{80}{0.2}x=0}$

$\displaystyle{\ddot x + 0.36 \dot x +400x=0}$

Precisamos resolver essa equação.

Vamos supor que a solução seja da forma $x(t)=e^{ \lambda t}$.

Para achar o valor de λ iremos resolver a equação característica da EDO:

$\displaystyle{\lambda ^2 +0.36\lambda +400 =0}$

Temos que:

$\displaystyle{\lambda = \frac{-0.36\pm\sqrt{0.36^2-4\cdot 1\cdot 400}}{2\cdot 1}}$

$\displaystyle{\lambda = \frac{-0.36\pm\sqrt{-1.599,8704}}{2}}$

Temos duas soluções para λ.

Temos então que:

$\lambda=-0.18 \pm 19.9992 i$ onde i é a unidade imaginária.

Esse valor 19.9992 é o período da oscilação. Eu não irei arredondá-lo para 20 e o motivo veremos logo a seguir.

Com isso, a solução geral para o movimento do nosso oscilador é:

$\displaystyle{x(t)=c_1 e^{(-0.18+19.9992i)t}+c_2 e^{(-0.18-19.9992i)t}}$

Vamos utilizar a relação de Euler para simplificar isso:

$\displaystyle{e^{it}=\cos(t)+i \sin (t)}$

$\displaystyle{x(t)=c_1 e^{(-0.18+19.9992i)t}+c_2 e^{(-0.18-19.9992i)t}}$

$\displaystyle{x(t)=e^{-0.18t} \left[ c_1 e^{19.9992it}+c_2 e^{-19.9992it} \right] }$

$\displaystyle{x(t)=e^{-0.18t} \left[ c_1 \left( \cos(19.9992t)+i \sin(19.9992t) \right)+c_2 \left( \cos(-19.9992t)+i \sin( -19.9992t) \right) \right] }$

$\displaystyle{x(t)=e^{-0.18t} \left[\cos(19.9992t) \left( c_1 +c_2 \right)+ \sin( 19.9992t) i \left(c_1-c_2 \right) \right] }$

Fazendo $c_1+c_2=A$ e $i(c_1-c_2 )= B$ temos:

$\displaystyle{x(t)=e^{-0.18t} \left[A \cos(19.9992t) + B \sin( 19.9992t) \right] }$

Ainda, podemos reescrever essa expressão de seno e cosseno na forma:

$A\cos(20t)+B\sin(19.9992t)=D\cos(19.9992t+\phi)$

onde $D = \sqrt{A^2+B^2}$ e $\tan( \phi) = -\frac{B}{A}$

No geral, a solução final que iremos obter é:

$\displaystyle{x(t)=e^{-0.18t} \left[D\cos(19.9992t+\phi) \right] }$

Para condições iniciais onde o oscilador possui uma amplitude inicial $x_0$ e é solto do repouso, a solução final será:

$\displaystyle{x(t)=e^{-0.18t} \left[x_0\cos(19.9992t) \right] }$

Essa é a equação de um oscilador com amortecimento subcrítico. Ele irá oscilar em torno do ponto de equilíbrio durante um tempo até para por completo, com a amplitude se reduzindo a cada oscilação.

O período de oscilação de um oscilador amortecido é sempre menor que o período sem amortecimento.

O período de oscilação desse oscilador sem amortecimento é $\frac{2\pi}{20}$ ao passo que com amortecimento o período se torna $\frac{2\pi}{19.9992}$. É por isso que não arredondei.

Este é um decréscimo mínimo e dependendo da situação, desprezível.

Sendo assim, respondendo a questão sobre qual o período de oscilação, temos como resposta:

$\displaystyle{T \approx \frac{2\pi}{19.9992} }$

$\displaystyle{\boxed{T \approx 0.31417}}$

A segunda questão está mal formulada. Se puder fazer outra questão com ela corrigida, eu poderia resolver.