Question

me ajududem por favor​

Answer 1

Neste caso, pode-se calcular primeiramente o comprimento dos três lados e então utilizar a fórmula de Heron para encontrar sua área.

O comprimento do lado é igual à distância entre os dois pontos que o formam:

$d_{BA} = \sqrt{(x_B-x_A)^2 + (y_B-y_A)^2}$

$a = \sqrt{(2-1)^2 + (4-2)^2}$

$a = \sqrt{(1)^2 + (2)^2}$

$a = \sqrt{1+4}$

$a = \sqrt{5}$

$b = \sqrt{(4-2)^2 + (1-4)^2}$

$b = \sqrt{(2)^2 + (-3)^2}$

$b = \sqrt{4+9}$

$b = \sqrt{13}$

$c = \sqrt{(4-1)^2 + (1-2)^2}$

$c = \sqrt{(3)^2 + (-1)^2}$

$c = \sqrt{9 + 1}$

$c = \sqrt{10}$

Agora, a fórmula de Heron diz que, conhecendo o comprimentos dos três lados de um triângulo qualquer, sua área será dada por:

$A = \sqrt{p \cdot (p - a) \cdot (p-b) \cdot (p-c)}$

Onde a, b e c são os lados do triângulo e p o semi-perímetro. Dado por:

$p = \dfrac{a+b+c}{2}$

Assim:

$p = \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}$

E a área:

$A^2 = \left(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2} - \sqrt{5}\right) \cdot \left(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}-\sqrt{13}\right) \cdot \left(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}-\sqrt{10}\right)$

Deixando todos os denominadores iguais a 2:

$A^2 = \left(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2} - \dfrac{2 \cdot \sqrt{5}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}-\dfrac{2 \cdot \sqrt{13}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}-\dfrac{2 \cdot \sqrt{5}}{2}\right)$

$A^2 = \left(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}-2 \cdot \sqrt{5}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}-2 \cdot \sqrt{13}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}-2 \cdot \sqrt{10}}{2} \right)$

$A^2 = \left(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{-\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{13}+\sqrt{10}}{2}\right) \cdot \left(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{13}-\sqrt{10}}{2} \right)$

Multiplicando:

$A^2 = \left(\dfrac{\sqrt{5}\cdot (-\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10})+\sqrt{13}\cdot (-\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10})+\sqrt{10}\cdot (-\sqrt{5}+\sqrt{13}+\sqrt{10})}{4}\right) \cdot \left(\dfrac{\sqrt{5} \cdot (\sqrt{5}+\sqrt{13}-\sqrt{10})-\sqrt{13}\cdot (\sqrt{5}+\sqrt{13}-\sqrt{10})+\sqrt{10}\cdot (\sqrt{5}+\sqrt{13}-\sqrt{10})}{4}\right)$

$A^2 =\dfrac{1}{16} \cdot (\sqrt{5}\cdot (-\sqrt{5})+\sqrt{5}\cdot\sqrt{13}+\sqrt{5}\cdot\sqrt{10}+\sqrt{13}\cdot (-\sqrt{5})+\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}+\sqrt{13}\cdot\sqrt{10}+\sqrt{10}\cdot (-\sqrt{5})+\sqrt{10}\cdot\sqrt{13}+\sqrt{10}\cdot\sqrt{10}) \\ \cdot (\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}+\sqrt{5} \cdot \sqrt{13} -\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}-\sqrt{13}\cdot \sqrt{5}-\sqrt{13}\cdot\sqrt{13}+\sqrt{13}\cdot \sqrt{10}+\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}+\sqrt{10}\cdot\sqrt{13}-\sqrt{10}\cdot\sqrt{10})\right)$

$A^2 = \left(\dfrac{-5+\sqrt{65}+\sqrt{50}-\sqrt{65}+13+\sqrt{130}-\sqrt{50}+\sqrt{130}+10}{4}\right)\\ \cdot \left(\dfrac{5+\sqrt{65}-\sqrt{50}-\sqrt{65}-13+\sqrt{130}+\sqrt{50}+\sqrt{130}-10}{4}\right)}$

Alguns termos se anulam:

$A = \sqrt{\left(\dfrac{-5+13+10+2 \cdot \sqrt{130}}{4}\right) \cdot \left(\dfrac{5-13-10+2 \cdot \sqrt{130}}{4}\right)}$

$A = \sqrt{\left(\dfrac{18+2 \cdot \sqrt{130}}{4}\right) \cdot \left(\dfrac{-18+2 \cdot \sqrt{130}}{4}\right)}$

Multiplicando:

$A = \sqrt{\left(\dfrac{-18^2+36 \cdot \sqrt{130} - 36 \cdot \sqrt{130} + 4 \cdot 130}{16}\right)}$

$A = \sqrt{\left(\dfrac{-324+ 520}{16}\right)}$

$A = \sqrt{\left(\dfrac{196}{16}\right)}$

$A = \left(\dfrac{\sqrt{196}}{\sqrt{16}}\right)$

$A = \left(\dfrac{14}{4}\right)$

$A = \left(\dfrac{7}{2}\right)$

$\boxed{A = 3,5}$