Question

Me ajudem!
Um polígono tem dois lados a mais do que outro e juntos tem 29 diagonais.Quais são os polígonos?

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Laudb, que é simples.

Vamos chamar esses dois polígonos de A e de B.

Agora vamos por parte, tentando fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Como um dos polígonos tem dois lados a mais que o outro, então teremos que (digamos que seja o polígono B que tenha dois lados a mais que o polígono A):

B = A + 2.

ii) Os dois polígonos têm, juntos, 29 diagonais.
Antes veja que o número de diagonais de qualquer polígono regular é dado por:

d = n*(n-3)/2, em que "d" é o número de diagonais e "n" é o número de lados.
Assim, para o polígono A, o número de diagonais será: d = n*(n-3)/2 .

Por sua vez, para o polígono B, que tem dois lados a mais que o polígono A, o número de diagonais será: d = (n+2)*(n+2-3)/2

iii) Agora vamos somar o número de diagonais dos polígonos A e B e vamos igualar a "29", pois esses dois polígonos têm, juntos, 29 diagonais. Assim:

n*(n-3)/2 + (n+2)*(n+2-3)/2 = 29 ---- desenvolvendo, teremos:
n*(n-3)/2 + (n+2)*(n-1)/2 = 29 ------ como o mmc é comum, então poderemos reescrever a expressão assim:

[n*(n-3) + (n+2)*(n-1)]/2 = 29 ---- multiplicando ambos os membros por "2", ficaremos  com:

n*(n-3) + (n+2)*(n-1) = 58 ---- desenvolvendo, teremos:

n² - 3n  + n² + n - 2 = 58 ---- reduzindo os termos semelhantes no 1º membro, teremos:

2n² - 2n - 2 = 58 --- para facilitar, vamos dividir ambos os membros por "2", com o que ficaremos

n² - n - 1 = 29 ---- passando "29" para o 1º membro, teremos:
n² - n - 1 - 29 = 0
n² - n - 30 = 0 ---- aplicando Bháskara, você encontrará as seguintes raízes:

n' = -5
n'' = 6

Agora veja: como o número de lados de um polígono não pode ser negativo, então ficaremos apenas com a raiz positiva e igual a:

n = 6 lados <--- Este é o polígono A.

Como o polígono B tem dois lados a mais, então o polígono B terá:

n = 6+2 = 8 lados <--- Este é o polígono B.

Assim, como é pedido o nome dos polígonos, então teremos que esses dois polígonos são:

Hexágono (6 lados) e Octógono (8 lados) <--- Esta é a resposta.


Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.