Question

Me ajudem, por favor!
Uma cultura de bactérias inicialmente contém 100 células e
cresce a uma taxa proporcional a seu tamanho. Depois de uma
hora a população cresceu para 420.
(a) Encontre uma expressão para o número de bactérias depois de
t horas.
(b) Encontre o número de bactérias depois de 3 horas.
(c) Encontre a taxa de crescimento depois de 3 horas.
(d) Quando a população atingirá 10 000?

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

dP(t)/dt=kP(t)

∫dP(t) =∫kP(t)  dt   a função que cuja derivada é ela mesma multiplicada pela constante é a função exponencial. Logo:

P(t)= e^kt+Const    Const tratando-se de uma constante podemos usar quaisquer termo para representar.

P(t)= e^kt+Ce^0

P(t)= 〖Ce〗^kt

a) Aplicando as condições iniciais P(0) = 100 e P(1) = 420 fica:

P(0) = Ce^k0 = 100

C = 100   e

P(1) = 100e^k.1 = 420   ⇨  e^k = 4,2

ln⁡(e^k)  =ln 4,2  ⇨  k = 1,435

P(t) = 100e^1,435t  expressão para número de bactérias

b) P(3) = 100e^1,435.3  ⇨  P(3) = 100e^4,305

P(3)  ≅ 7407 bactérias em t = 3h

c) dP(t)/dt= k.Ce^kt = kP(t)

dP(3)/dt= 1,435P(3) ≅ 10.629 bactérias/ hora no instante t = 3h

d) P(t) = 100e^1,435t = 10.000  ⇨ e^1,435t = 100  

ln⁡ (e^1,4345t) = ln⁡ (100) ⇨ t = ln⁡(100/1,435)  

t = 3h 12min⁡ 33s tempo para atingir 10.000 bactérias