Question

Me ajudem por favor ..tenho essa questão pra amanhã..
Quais são os centros e o raio da circunferencia da equação x²+y²=2 (x-y)+1 ?

Answer 1

Toda circunferência cuja equação possa ser reduzida à forma

$(x-x_{_{C}})^{2}+(y-y_{_{C}})^{2}=r^{2}$

tem centro no ponto $(x_{_{C}};\,y_{_{C}})$

e seu raio mede $r.$


Dessa forma, vamos reduzir a equação dada:

$x^{2}+y^{2}=2\,(x-y)+1\\ \\ x^{2}+y^{2}=2x-2y+1\\ \\ x^{2}-2x+y^{2}+2y=1$


Para completar os quadrados no lado esquerdo, vamos adicionar $+1+1$ dos dois lados da igualdade:

$x^{2}-2x+y^{2}+2y+1+1=1+1+1\\ \\ (x^{2}-2x+1)+(y^{2}+2y+1)=3\\ \\ (x-1)^{2}+(y+1)^{2}=3\\ \\ (x-1)^{2}+(y-(-1))^{2}=(\sqrt{3})^{2}$


Comparando a última linha acima com a forma reduzida da equação da circunferência, temos que

$x_{_{C}}=1;\;y_{_{C}}=-1\;\;\Rightarrow\;\;$ o centro é o ponto $(1;\,-1)$
 
a medida do raio é $r=\sqrt{3}\text{ u.c.}$
 
($\text{ u.c.}=$ unidades de comprimento)