Question

ÁREA do círculo: X² + Y² - 2X + 4Y - 20 = 0

Answer 1

Calcular a área do círculo delimitado pela circunferência de equação

$x^{2}+y^{2}-2x+4y-20=0$


O cálculo da área do círculo depende do raio. Então, vamos reduzir a equação desta circunferência à forma

$(x-x_{_{C}})^{2}+(y-y_{_{C}})^{2}=r^{2}$


de onde tiramos as coordenadas do centro $(x_{_{C}};\,y_{_{C}})$

e a medida do raio $r:$


$x^{2}+y^{2}-2x+4y-20=0\\ \\ x^{2}-2x+y^{2}+4y=20$


Para completar os quadrados no lado esquerdo, adicionamos $+1+4$ aos dois lados da equação:

$x^{2}-2x+\mathbf{1}+y^{2}+4y+\mathbf{4}=20+\mathbf{1}+\mathbf{4}\\ \\ (x^{2}-2x+1)+(y^{2}+4y+4)=25\\ \\ (x-1)^{2}+(y+2)^{2}=25\\ \\ (x-1)^{2}+(y-(-2))^{2}=5^{2}$


Da última linha acima, tiramos que

$x_{_{C}}=1;\;y_{_{C}}=-2\;\;\Rightarrow\;\;$ o centro é o ponto $(1;\,-2)$

o raio mede $r=5\text{ u.c.}$
 

De posse da medida do raio, a área do círculo é dada por

$A=\pi r^{2}\\ \\ A=\pi \cdot 5^{2}\\ \\ A=25\pi \text{ u.a.}$


($\text{ u.c.}=$ unidades de comprimento;
$\text{ u.a.}=$ unidades de área)