Question

Me ajudem por favor :

Quantos são os anagramas da palavra ''BRASIL'', em que nenhuma das letras ocupe a posição ocupada inicialmente na palavra?

Answer 1

$\boxed{\boxed{Ola\´\ Manu}}$

Este exercício é um pouco complicado , ele envolve permutação caótica certo ?

========================================================

Fórmula da permutação caótica :

$D=N!\times\pmatrix\(1-\dfrac{1}{1!} +\dfrac{1}{2!} -\dfrac{1}{3!}+.....+\dfrac{1}{N!}~~\endpmatrix$

Onde N é a quantidade de letras que a palavra tem , logo N=6

========================================================

$D=6!\times\pmatrix\(1-\dfrac{1}{1!} +\dfrac{1}{2!} -\dfrac{1}{3!}+\dfrac{1}{4!}-\dfrac{1}{5!}+\dfrac{1}{6!}~~\endpmatrix\\ \\ \\ \\ D=720\times\pmatrix\(1-\dfrac{1}{1} +\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{120}+\dfrac{1}{720}~~\endpmatrix\\ \\ \\ \\ D=720\times\pmatrix\(\dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{24}-\dfrac{1}{120}+\dfrac{1}{720}~~\endpmatrix}~~\endpmatrix$

========================================================

Manu nesta etapa do exercício , vamos tirar o minimo múltiplo comum dos denominadores das frações , o resultado do MMC , vamos dividir pelo próprios denominadores e o resultado da divisão , multiplicar pelos numeradores ,veja como é simples de entender :

========================================================

$\begin{array}{r|l}2,6,24,120,720&2\\1.3.12.60,360&2\\1,3,6,30,180&2\\1,3,3,15,90&2\\1,3,3,15,45&3\\1,1,1,5,15&5\\1,1,1,1,3&3\\1,1,1,1,1&\checkmark\end{array}\\ \\ \\ 2\times2\times2\times2\times3\times5\times3=\boxed{{720}}$

========================================================

Agora dividiremos pelos próprios denominadores e o resultado da divisão multiplicaremos pelos numeradores .

$D=720\times\pmatrix\(\dfrac{360-120+30-6+1}{720} ~~\endpmatrix}~~\endpmatrix\\ \\ \\ \\ D=720\times\pmatrix\(\dfrac{265}{720} ~~\endpmatrix}~~\endpmatrix\\ \\ \\ \\ D=720\times\dfrac{265}{720} \\ \\ \\ \\ D=\dfrac{190800}{720} \\ \\ \\ \\ \boxed{{D=265}}$

========================================================

Portanto temos 265 anagramas que não ocupam as letras ocupadas inicialmente :)

========================================================

Espero ter ajudado!