Question

Me ajudem por favor, números complexos.

Answer 1

Primeiro, você precisa passar o número para a forma trigonométrica, pra facilitar.

De acordo com a imagem:

$cos(\Theta) = \frac{\sqrt{3}}{2} \\ \\ sen(\Theta) = \frac{1}{2} \\ \\ \Theta = 30^o$

O módulo "m" do número complexo:

$m^2 = (\sqrt{3})^2 + (1)^2 \\ m^2 = 3 + 1 \\ m^2 = 4 \\ m = 2$

Então:

$z = m[cos(\Theta) + i.sen(\Theta)] \\ z = 2[cos(30^o) + i.sen(30^o)]$

Quando elevamos um número complexo na forma trigonométrica, o módulo é elevado ao número e multiplicamos os argumentos (ângulos):

$z^n = 2^n.[cos(30^o.n) + i.sen(30^o.n)]$

Como queremos que o número complexo seja imaginário puro, então a parte real deve ser 0:

$cos(30^o.n) = 0 \\ 30^o.n = 90^o \\ \\ n = \frac{90^o}{30^o} \\ \\ n = 3$

Na trigonometria, cos(x) = 0 quando temos 90°, 270°, 450°, e por aí vai. Fazendo as contas, você percebe o seguinte:

$cos(30^o.n) = 0 \\ 30^o.n = 270^o \\ \\ n = \frac{270}{30} \\ \\ n = 9  \\ \\ \\ cos(30^o.n) = 0 \\ 30^o.n = 450^o \\ \\ n = \frac{450^o}{30^o} \\ \\ n = 15$

N pertence a um conjunto que corresponde a uma P.A de primeiro termo 3 e razão 6. Assim, os valores de n podem ser:

S = {3,9,15,21,27,33...}