Question

me ajudem por favor, coloco como favorito!​

Answer 1

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$\green{\rm\underline{EXPLICAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O\ PASSO{-}A{-}PASSO\ \ \ }}$✍

❄☃ $\sf(\gray{+}~\red{cores}~\blue{com}~\pink{o}~\orange{App}~\green{Brainly})$ ☘☀

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☺lá, como tens passado nestes tempos de quarentena⁉ E os estudos à distância, como vão⁉ Espero que bem❗ Acompanhe a resolução abaixo e após o resultado você encontrará um resumo com mais informações sobre Racionalização de Denominadores que talvez te ajude com exercícios semelhantes no futuro. ✌

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1Ⓐ____________________________✍

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ \dfrac{2 - \sqrt2}{\sqrt2 - 1} }}}$

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$\sf\blue{ = \dfrac{2 - \sqrt2}{\sqrt2 - 1} \cdot 1 }$

$\sf\blue{ = \dfrac{2 - \sqrt2}{\sqrt2 - 1} \cdot \dfrac{\sqrt2 + 1}{\sqrt2 + 1}}$

$\sf\blue{ = \dfrac{(2 - \sqrt2) \cdot (\sqrt2 + 1)}{(\sqrt2 - 1) \cdot (\sqrt2 + 1)} }$

$\sf\blue{ = \dfrac{2 \cdot \sqrt2 + 2 - 2 - \sqrt2}{2 + \sqrt{\diagup\!\!\!\!{2}} - \sqrt{\diagup\!\!\!\!{2}} - 1} }$

$\sf\blue{ = \dfrac{\sqrt2}{2 - 1} }$

$\sf\blue{ = \dfrac{\sqrt2}{1} }$

$\sf\blue{ = \sqrt2 }$

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\red{ A)}~\gray{\dfrac{2 - \sqrt2}{\sqrt2 - 1}}~\pink{=}~\blue{ \sqrt2 }~~~}}$ ✅

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$\large\gray{\boxed{\rm\blue{ \dfrac{2}{\sqrt5 - \sqrt3} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{2}} }}}$

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$\sf\blue{ = \dfrac{2}{\sqrt5 - \sqrt3} \cdot 1 - \dfrac{2}{\sqrt[3]{2}} \cdot 1 }$

$\sf\blue{ = \dfrac{2}{\sqrt5 - \sqrt3} \cdot \dfrac{\sqrt5 + \sqrt3}{\sqrt5 + \sqrt3} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{2}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^2}} }$

$\sf\blue{ = \dfrac{2 \cdot (\sqrt5 + \sqrt3)}{(\sqrt5 - \sqrt3) \cdot (\sqrt5 + \sqrt3)} - \dfrac{2 \cdot (\sqrt[3]{2^2})}{\sqrt[3]{2} \cdot (\sqrt[3]{2^2})} }$

$\sf\blue{ = \dfrac{2 \cdot (\sqrt5 + \sqrt3)}{5 - 3} - \dfrac{2 \cdot (\sqrt[3]{4})}{2^{\frac{1}{3}} \cdot 2^{\frac{2}{3}}} }$

$\sf\blue{ = \dfrac{\diagup\!\!\!\!{2} \cdot (\sqrt5 + \sqrt3)}{\diagup\!\!\!\!{2}} - \dfrac{2 \cdot (\sqrt[3]{4})}{2^{\frac{1 + 2}{3}}} }$

$\sf\blue{ = \sqrt5 + \sqrt3 - \dfrac{2 \cdot (\sqrt[3]{4})}{2^{\frac{3}{3}}} }$

$\sf\blue{ = \sqrt5 + \sqrt3 - \dfrac{2 \cdot (\sqrt[3]{4})}{2^1} }$

$\sf\blue{ = \sqrt5 + \sqrt3 - \dfrac{\diagup\!\!\!\!{2} \cdot (\sqrt[3]{4})}{\diagup\!\!\!\!{2}} }$

$\sf\blue{ = \sqrt5 + \sqrt3 - \sqrt[3]{4} }$

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$\large\green{\boxed{\rm~~~\red{ B)}~\gray{\dfrac{2}{\sqrt5 - \sqrt3} - \dfrac{2}{\sqrt[3]{2}}}~\pink{=}~\blue{ \sqrt5 + \sqrt3 - \sqrt[3]{4} }~~~}}$ ✅

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$\sf\large\red{RACIONALIZAC_{\!\!\!,}\tilde{A}O~DE~DENOMINADORES}$

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☔ Chamamos de racionalização de denominadores o processo de encontrar uma fração equivalente em que o denominador, inicialmente composto por um número irracional, se torne um denominador racional. Para isso temos que

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I) Caso o denominador seja um número único, multiplicamos o numerador e o denominador por uma potência de mesma base mas que o expoente complete 1 na soma.

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☔ Por exemplo, $\dfrac{3}{\sqrt[3]{5}}$. Este denominador pode ser escrito como $5^{\frac{1}{3}}$ e portanto, a potência de mesma base e expoente inverso seria  $\sqrt[3]{25}$, que também pode ser escrito como $5^{\frac{2}{3}}$, pois pelas regras de potenciação  teremos

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➡ $\sf\large\blue{ 5^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{\frac{2}{3}} = 5^{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}} = 5^{\frac{3}{3}} = 5}$

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o que nos resultaria na seguinte fração equivalente

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➡ $\sf\large\blue{ \dfrac{3}{\sqrt[3]{5}} \cdot \dfrac{\sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{25}} = \dfrac{3\sqrt[3]{25}}{5} }$

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II) Caso o denominador seja uma soma ou subtração, multiplicamos ele pelo termo que compõe a segunda parte de um produto da soma pela diferença (o que é equivalente a dizer que invertemos o sinal entre ao dois termos do denominador).  

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☔ Por exemplo, $\dfrac{3}{4 + \sqrt5}$. O termos que completaria nossa fatoração do tipo produto da soma pela diferença seria $4 - \sqrt5$ pois sabemos que

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➡ $\sf\large\blue{ (4 + \sqrt5) \cdot (4 - \sqrt5) = 16 + \sqrt5 - \sqrt5 - (\sqrt5)^2}$

➡ $\sf\large\blue{ (4 + \sqrt5) \cdot (4 - \sqrt5) = 16 - 5}$

➡ $\sf\large\blue{ (4 + \sqrt5) \cdot (4 - \sqrt5) = 11}$

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o que nos resultaria na seguinte fração equivalente

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➡ $\sf\large\blue{ \dfrac{3}{4 + \sqrt5} \cdot \dfrac{4 - \sqrt5}{4 - \sqrt5} = \dfrac{12 - 3\sqrt5}{11} }$

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✈  Potenciação e Radiciação (https://brainly.com.br/tarefa/36120526)

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☕ Bons estudos.

(Dúvidas nos comentários) ☄

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"Absque sudore et labore nullum opus perfectum est."