Question

Me ajudem, por favor: Calcule a integral da função f (x,y) = x³ na região 0≤x≤2,x2≤y≤4.

Answer 1

Olá, boa noite.

Devemos calcular a integral da função $f(x,~y)=x^3$ na região definida pelos intervalos $0\leq x\leq2$ e $x^2\leq y\leq4$.

A integral de uma função $f(x,~y)$ é igual ao volume do sólido gerado entre a curva da função e o plano $xy$, limitada nos intervalos definidos por números ou funções de uma variável. Logo, têm-se que: $\displaystyle{\iint f(x,~y)\,dA}$.

Lembre-se que a integral dupla de uma função de duas variáveis é calculada de acordo com o Teorema de Fubini, em que a ordem de integração deve respeitar a seguinte propriedade: a última variável a ser integrada deve ter limites numéricos.

Assim, define-se o elemento de área $dA=dx\,dy$ ou $dA=dy\,dx$.

Observe que a variável $y$ varia entre uma função de $x$ e um limite numérico e a variável $x$ varia entre limites numéricos. Dessa forma, integraremos a variável $x$ por último.

Logo, temos que a integral desejada será da forma: $\displaystyle{\int_{x_1}^{x_2}\int_{h(x)}^{g(x)}f(x,~y)\,dy\,dx}$.

Substituindo os dados do enunciado, temos que determinar o valor da seguinte integral: $\displaystyle{\int_0^2\int_{x^2}^4 x^3\,dy\,dx}$.

Para resolver estas integrais, lembre-se que:

• A integral de uma potência é calculada pela regra da potência: $\displaystyle{\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C,~n\neq-1$.
• A integral é um operador linear, logo vale que $\displaystyle{\int f(x)+g(x)\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx}$ e $\displaystyle{\int c\cdot f(x)\,dx=c\cdot \int f(x)\,dx}$.
• A integral definida de uma função em um intervalo fechado é calculada de acordo com o Teorema Fundamental do Cálculo: $\displaystyle{\int_a^b f(x)\,dx=F(x)~\biggr|_a^b=F(b)-F(a)$, em que $F(x)$ é a antiderivada de $f(x)$.

Primeiro, resolvemos a integral interna. Veja que seu integrando é uma função de $x$ e devemos integrá-la em respeito à variável $y$.

Considerando esta função como constante, aplicamos a linearidade:

$\displaystyle{\int_0^2x^3\cdot\left(\int_{x^2}^4 \,dy\right)\,dx$

Aplique a regra da potência, sabendo que $\displaystyle{\int dy=\int 1\,dy=\int y^0\,dy}$

$\displaystyle{\int_0^2x^3\cdot\left(\dfrac{y^{0+1}}{0+1}~\biggr|_{x^2}^4\right)\,dx$

Some os valores no expoente e denominador

$\displaystyle{\int_0^2x^3\cdot \left(y~\biggr|_{x^2}^4\right)\,dx$

Aplique os limites de integração

$\displaystyle{\int_0^2x^3\cdot (4-x^2)\,dx$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$\displaystyle{\int_0^24x^3-x^5\,dx$

Aplique a linearidade e a regra da potência

$\displaystyle{\left(\int 4x^3\,dx-\int x^5\right)~\biggr|_0^2}\\\\\\ \displaystyle{\left(4\cdot\int x^3\,dx-\int x^5\right)~\biggr|_0^2}\\\\\\ 4\cdot\dfrac{x^{3+1}}{3+1}-\dfrac{x^{5+1}}{5+1}~\biggr|_0^2$

Some os valores no expoente e denominador

$4\cdot\dfrac{x^4}{4}-\dfrac{x^6}{6}~\biggr|_0^2\\\\\\ x^4 - \dfrac{x^6}{6}~\biggr|_0^2$

Aplique os limites de integração

$2^4-\dfrac{2^6}{6}-\left(0^4-\dfrac{0^6}{6}\right)$

Calcule as potências e some os valores

$16-\dfrac{64}{6}\\\\\\\ \dfrac{16}{3}~\bold{u.~v}~~\checkmark$

Este é o resultado desta integral.