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A foto abaixo mostra um túnel cuja entrada forma um arco parabólico com base AB = 8m e altura central OC = 5,6m.
Observe, na foto, um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, cujo eixo horizontal Ox é tangente ao solo e o vertical Oy representa o eixo de simetria da parábola.Ao entrar no túnel, um caminhão com altura AP igual a 2,45 m, como ilustrado a seguir, toca sua extremidade P em um determinado ponto do arco parabólico
Calcule a distância do ponto P ao eixo vertical Oy.
A) 2,75m.
B) 3,25m.
C) 3,75m.
D) 3,00m.
E) 3,50m.
Soluções para a tarefa
A distância do ponto P ao eixo vertical Oy é de 3,00 metros, alternativa D.
Equações do segundo grau
As equações do segundo grau são representadas por ax² + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação.
Considerando o arco parabólico da figura, sabemos que a distância entre as raízes é de 8 metros, logo, se Oy divide AB em segmentos iguais, as raízes da equação são:
x' = -4, x'' = 4
O vértice da parábola é o ponto V(0; 5,6), então, temos que:
a·0² + b·0 + c = 5,6
c = 5,6
Das raízes:
a·(-4)² + b·(-4) + 5,6 = 0 ⇒ 16a - 4b + 5,6 = 0
a·4² + b·4 + 5,6 = 0 ⇒ 16a + 4b + 5,6 = 0
16a - 4b + 5,6 = 16a + 4b + 5,6
8b = 0
b = 0
16a - 4·0 + 5,6 = 0
16a = -5,6
a = -0,35
Portanto, a equação da parábola será:
y = -0,35x² + 5,6
Para y = 2,45, a distância de P ao eixo Oy é:
2,45 = -0,35x² + 5,6
x² = 3,15/0,35
x² = 9
x = 3 m
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