Question

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Answer 1

Explicação passo a passo:

Temos: x² + y² = 34 ; xy = 15 ; (x + y)² = ?

Na expressão xy = 15, isole qualquer incógnita e substitua na outra expressão. Isolando o y, fica

    $xy=15$  →  $y=\frac{15}{x}$

Substituindo

    $x^{2}+y^{2}=34$

    $x^{2}+(\frac{15}{x})^{2}=34$

    $x^{2}+\frac{225}{x^{2}}=34$

    $x^{4}+225=34x^{2}$

    $x^{4}-34x^{2}+225=0$

Temos uma equação biquadrada.

Para resolvê-la, escreva x⁴ como (x²)²

    $x^{4}-34x^{2}+225=0$  →  $(x^{2})^{2}-34x^{2}+225=0$

Substitua o x² por u

    $(x^{2})^{2}-34x^{2}+225=0$  →  $u^{2}-34u+225=0$

Sendo a = 1, b = -34 e c = 225, calcule Δ = b² - 4ac

    Δ = $(-34)^{2}-4.1.225$

    Δ = $1156-900$

    Δ = $256$

Usando a fórmula quadrática  $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$  , fica

    $u=\frac{-(-34)\pm\sqrt{256}}{2.1}$

    $u=\frac{34\pm16}{2}$

    $u_{1}=\frac{34-16}{2}$  →  $u_{1}=\frac{18}{2}$ →  $u_{1}=9$

    $u_{2}=\frac{34+16}{2}$  →  $u_{2}=\frac{50}{2}$  →  $u_{2}=25$

Sendo x² = u, temos

    * para u = 9

            $x^{2}=9$  →  $x=\pm\sqrt{9}$  →  $x=\pm3$

    * para u = 25

            $x^{2}=25$  →  $x=\pm\sqrt{25}$  →  $x=\pm5$

Cálculo do y: como  $y=\frac{15}{x}$ , fica

    * para x = ±3

            $y=\frac{15}{\pm3}$  →  $y=\pm5$

    * para x = ±5

            $y=\frac{15}{\pm5}$  →  $y=\pm3$

Temos então:  (-3, -5), (3, 5), (-5, -3), (5, 3)

* Cálculo do (x + y)²

  quaisquer dos pares ordenados acima substituídos dará o mesmo   resultado

  (-3, -5)

       $(x+y)^{2}=(-3-5)^{2}=(-8)^{2}=64$

  (3, 5)

       $(x+y)^{2}=(3+5)^{2}=(8)^{2}=64$

  (-5, -3)

       $(x+y)^{2}=(-5-3)^{2}=(-8)^{2}=64$

  (5, 3)

       $(x+y)^{2}=(5+3)^{2}=(8)^{2}=64$

Resposta:  64