Question

Me ajudem please! Prove que se a equação do 2ºgrau (imagem) apresenta duas raízes reais e iguais, então b=(a+c)/2

Answer 1

De início, o exercício nos fornece a seguinte equação do 2º grau:

$\mathsf{\big(b-c\big)x^2+\big(c-a\big)x+\big(a-b\big)=0}$

Para simplificar a escrita e facilitar o entendimento, vamos comparar a equação acima com a forma genérica (canônica) de uma equação quadrática (do segundo grau) qualquer, que é αx² + βx + γ = 0, com α ≠ 0. Comparando-as, temos que os coeficientes α, β e γ serão dados por:

$\begin{cases}\mathsf{\alpha=b-c}\\\\ \mathsf{\beta=c-a}\\\\ \mathsf{\gamma=a-b}\end{cases}$

Agora, repare que a soma α + β + γ dos coeficientes de αx² + βx + γ é igual a 0 (zero), pois:

$\mathsf{\ \ \ \underbrace{\mathsf{\big(b-c\big)}}_{\alpha}\,+\,\underbrace{\mathsf{\big(c-a\big)}}_{\beta}\,+\,\underbrace{\mathsf{\big(a-b\big)}}_{\gamma}}\\\\\\ \mathsf{=\ b-c+c-a+a-b}\\\\\\ \mathsf{=\ b-b+c-c+a-a}\\\\\\ \mathsf{=\ 0}$

E como consequência disso, temos a certeza de que o número 1 é raiz da equação, ao passo que:

$\mathsf{\ \ \ \: \, \alpha\cdot 1^2+\,\beta\cdot 1 +\gamma}\\\\\ \mathsf{=\ \alpha +\beta+\gamma}\\\\\ \mathsf{=\ 0}$

Ora, se 1 é raiz de αx² + βx + γ = 0, e esta, por sua vez, tem duas raízes reais e iguais (raiz dupla), então podemos afirmar de imediato que 1 é a tal raiz de multiplicidade dois da referida equação. Antes de finalizar o desenvolvimento e provar que b = (a + c)/2, é imprescindível lembrar que, devido ao fato da equação ter duas raízes reais e iguais, o seu discriminante Δ (delta) é nulo, e com isso suas raízes são facilmente obtidas da seguinte maneira:

$\mathsf{x_{1}=x_{2}=-\dfrac{\beta}{2\alpha}\ \ \ \ \big(\alpha\neq0\big)}$

Retornando ao desenvolvimento e fazendo uso do que foi dito logo acima, obtém-se:

$\mathsf{\qquad \ \ \: 1=-\dfrac{\beta}{2\alpha}}\\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\ \ \ 1=-\dfrac{\big(c-a\big)}{2\big(b-c\big)}}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\ \ \ 2\big(b-c\big)=-\big(c-a\big)\ \ \ \ \,\big(pois\ \, b\neq c\big)}\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\ \ \ 2b-2c=a-c}\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\ \ \ 2b=a+2c-c}\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\ \ \ 2b=a+c}\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\ \ \ \boxed{\mathsf{b=\dfrac{a+c}{2}}}}$

, como queríamos demonstrar.