Question

ME AJUDEM PFV... Passe para coordenadas polares e calcule a seguinte integral dupla da forma cartesiana:

Answer 1

a integral em forma polar se escreve como

$\int_0^\frac{\pi}{2} \int_3^5 r\,dr\,d\theta=\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{r^2}{2}|_3^5\,\,d\theta$

e tem como resultado o valor $4\pi$

A figura representa um setor de disco.

Ainda observando a figura, vemos que o raio do setor varia de $r=3$ até $r=5$ e o ângulo varia de $\theta=0$ até $\theta=\frac{\pi}{2}$.

Ao converter uma integral de uma região cartesiana para uma região polar, precisamos levar em conta o fator de transformação.

Formalmente, trata-se de uma transformação jacobiana, Mas podemos utilizar argumentos geométricos para construir este fator:

A variação no raio é apenas $dr$

Mas a variação no ângulo é $rd\theta$ e o fator r é necessário para localizar em que ponto (no raio) estamos fazendo o giro.

Portanto a integral na forma polar fica

$\int_0^\frac{\pi}{2} \int_3^5 r\,dr\,d\theta$

E resolvendo a integral, obtemos

$\int_0^\frac{\pi}{2} \int_3^5 r\,dr\,d\theta=\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{r^2}{2}|_3^5\,\,d\theta$

$\int_0^\frac{\pi}{2}\dfrac{r^2}{2}|_3^5\,\,d\theta= 8\int_0^\frac{\pi}{2}\,d\theta$

$8\int_0^\frac{\pi}{2}\,d\theta=8\cdot(\frac{\pi}{2}-0) = 4\pi$

Esta é a resposta correta (pode ser conferida com algum programa de computação algébrica), mas não aparece nas alternativas.