Question

Me ajudem pff
Log 2 na base x + log x na base 16=5/4

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Bella, que a resolução é simples, porém não tão singela como se poderia pressupor a uma primeira vista.
Tem-se:

logₓ (2) + log₁₆ (x) = 5/4

Agora note que, como condições de existência, teremos isto:

a) a base "x" terá que ser positiva (>0) e diferente de "1".
b) o logaritmando "x" terá ser positivo (>0)
c) assim, vai valer, como condição de existência, o que foi visto aí em cima para a base, ou seja: x>0 e x≠1.

Bem, como já vimos as condições de existência acima, vamos continuar com a nossa expressão, que é esta:
 
logₓ (2) + log₁₆ (x) = 5/4  ----- veja que 16 = 2⁴. Assim:
logₓ (2) + log₂⁴ (x) = 5/4 --- note que o inverso do expoente da base passa a multiplicar o respectivo logaritmo. Então:

logₓ (2) + (1/4)*log₂ (x) = 5/4 ----- multiplicando-se em cruz, teremos:
4*[logₓ (2) + (1/4)*log₂ (x) = 5 ---- efetuando este produto teremos:
4logₓ (2) + 4*(1/4)log₂ (x) = 5
4logₓ (2) + 4/4log₂ (x) = 5 ---- dividindo-se "4" por "4" no 2º fator do 1º membro, ficaremos:

4logₓ (2) + 1log₂ (x) = 5 --- ou apenas:
4logₓ (2) + log₂ (x) = 5

Agora veja isto: se fizermos logₓ (2) = k , então o log₂ (x) será igual a 1/k. Nesse caso, vamos fazer estas substituições, ficando:

4k + 1/k = 5 ----- mmc = k. Assim, utilizando-o no 1º membro, teremos:
(k*4k + 1*1)/k = 5
(4k² + 1)/k = 5 ---- multiplicando-se em cruz, teremos:
4k² + 1 =  5*k
4k² + 1 = 5k ---- passando "5k" para o 1º membro, teremos:
4k² + 1 - 5k = 0 --- vamos ordenar, ficando:
4k² - 5k + 1 = 0 ---- se você aplicar Bháskara vai encontrar as seguintes raízes:

k' = 1/4
k'' = 1

Mas veja que fizemos logₓ (2) = k. Então:

k) Para k = 1/4, teremos:

logₓ (2) = 1/4 ---- aplicando a definição de logaritmos, teremos:

x¹/⁴ = 2 ------ veja que x¹/⁴ = ⁴√(x¹) = ⁴√(x) ----- Assim, substituindo:
⁴√(x) = 2 --- para eliminar o radical, vamos elevar ambos os membros a "4", ficando:

[⁴√(x)]⁴ = 2⁴ ----- desenvolvendo, ficaremos com:
x = 16 <---- Esta é uma raiz.

ii) Para k = 1, teremos:

logₓ (2) = 1 ---- aplicando a definição de logaritmos, vamos ter que:

x¹ = 2 --- ou apenas:
x = 2 <--- Esta é a outra raiz.

iii) Logo, resumindo, teremos que "x" poderá ser:

ou x = 2, ou x = 16 <--- Esta é a resposta.

Observação: veja que os dois possíveis valores de "x" satisfazem, ambos, às condições de existência vistas logo no início.

Se você quiser, poderá apresentar o conjunto-solução da seguinte forma, o que é a mesma coisa:

S = {2; 16} .

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.